Question

13．點P是函數(shù)$f（x）=\frac{1}{3}{x^3}-x，x∈[{-1，\sqrt{2}}]$圖象上任意一點，且在點P處切線的傾斜角為α，則α的取值范圍是$[{0，\frac{π}{4}}]∪[{\frac{3π}{4}，π}）$．

Answer 1

分析 f′（x）=x²-1，設P（x₀，y₀），x₀∈$[-1，\sqrt{2}]$．可得tanα=${x}_{0}^{2}$-1的范圍，又α∈[0，π），即可得出α的范圍．

解答 解：f′（x）=x²-1，
設P（x₀，y₀），x₀∈$[-1，\sqrt{2}]$．
∴tanα=${x}_{0}^{2}$-1∈[-1，1]，又α∈[0，π），
∴α∈$[{0，\frac{π}{4}}]∪[{\frac{3π}{4}，π}）$，
故答案為：$[{0，\frac{π}{4}}]∪[{\frac{3π}{4}，π}）$．

點評 本題考查了導數(shù)的幾何意義、切線的斜率、三角函數(shù)的單調(diào)性、二次函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．