Question

已知向量

a

=(sin

A+B

2

，cos

A-B

2

-

3 2

4

)，

b

=(

5

4

sin

A+B

2

，cos

A-B

2

+

3 2

4

)，其中A、B是△ABC的內(nèi)角，

a

⊥

b

，
（Ⅰ）求tanAtanB的值；
（Ⅱ）求tanC的最大值．

Answer 1

分析：（I）根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算公式，將

a

•

b

展開，并用三角函數(shù)的降冪公式、和與差的余弦公式化簡(jiǎn)得：

a

•

b

=

9

8

sinAsinB-

1

8

cosAcosB，再由

a

⊥

b

，得到

9

8

sinAsinB-

1

8

cosAcosB=0，最后可用同角三角函數(shù)的商數(shù)關(guān)系，得到tanAtanB=

1

9

；
（II）根據(jù)三角形的內(nèi)角和等于π，結(jié)合三角和的正切公式，可得tanC=-tan（A+B）=-

9

8

（tanA+tanB），再經(jīng)過討論可得tanA、tanB都是正數(shù)，所以tanA+tanB≥2

tanAtanB

=

2

3

，從而得到當(dāng)且僅當(dāng)tanA=tanB=

1

3

時(shí)，tanC的最大值為-

3

4

．

解答：解：（I）根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算公式，得

a

•

b

=

5

4

sin²

A+B

2

+（cos²

A-B

2

-

9

8

）=

5

8

[1-cos（A+B）]+

1

2

[1+cos（A-B）]-

9

8

=

1

2

cos（A-B）-

5

8

cos（A+B）=

1

2

（cosAcosB+sinAsinB）-

5

8

（cosAcosB-sinAsinB）
=

9

8

sinAsinB-

1

8

cosAcosB
∵

a

⊥

b

，
∴

a

•

b

=0，即

9

8

sinAsinB-

1

8

cosAcosB=0，可得sinAsinB=

1

9

cosAcosB
∴tanAtanB=

sinAsinB

cosAcosB

=

1

9

（II）∵A、B是△ABC的內(nèi)角，
∴π-C=A+B，可得tanC=-tan（A+B）=

tanA+tanB

tanatanB-1

=-

9

8

（tanA+tanB）
∵A、B是三角形的內(nèi)角，且tanAtanB=

1

9

＞0
∴A、B都是銳角，tanA、tanB都是正數(shù)
因此tanA+tanB≥2

tanAtanB

=

2

3

∴-

9

8

（tanA+tanB）≤-

9

8

×

2

3

=-

3

4

，即tanC≤-

3

4

，
當(dāng)且僅當(dāng)tanA=tanB=

1

3

時(shí)，tanC的最大值為-

3

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題著重考查了三角函數(shù)的降冪公式、兩角和的正切公式和基本不等式等知識(shí)點(diǎn)，屬于中檔題．