Question

17．已知復數z=x+（x-a）i，若對任意實數x∈（1，2），恒有|z|＞|$\overline{z}$+i|，則實數a的取值范圍為（　�。�

• A． （-∞，$\frac{1}{2}$]
• B． （-∞，$\frac{1}{2}$）
• C． [$\frac{3}{2}$，+∞）
• D． （$\frac{3}{2}$，+∞）

Answer 1

分析 求出復數的模，把|z|＞|$\overline{z}$+i|，轉化為a＜x$-\frac{1}{2}$（1＜x＜2）恒成立，再求出x-$\frac{1}{2}$的范圍得答案．

解答 解：∵z=x+（x-a）i，且|z|＞|$\overline{z}$+i|恒成立，
∴$\sqrt{{x}^{2}+（x-a）^{2}}$＞$\sqrt{{x}^{2}+（1+a-x）^{2}}$，
兩邊平方并整理得：a＜x-$\frac{1}{2}$．
∵x∈（1，2），∴x-$\frac{1}{2}$∈（$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{2}$）．
則a$≤\frac{1}{2}$．
∴實數a的取值范圍為（-∞，$\frac{1}{2}$]．
故選：A．

點評 本題考查復數模的求法，考查恒成立問題的求解方法，運用了分離變量法，是中檔題．