Question

平面直角坐標(biāo)系xOy中，圓C₁的參數(shù)方程為

x=2+2cosφ y=2sinφ

（φ為參數(shù)），以坐標(biāo)原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，圓C₂的極坐標(biāo)方程為ρ=4sinθ．
（1）寫出圓C₁的普通方程及圓C₂的直角坐標(biāo)方程；
（2）圓C₁與圓C₂是否相交，若相交，請求出公共弦的長；若不相交請說明理由．

Answer 1

考點：簡單曲線的極坐標(biāo)方程,參數(shù)方程化成普通方程

專題：坐標(biāo)系和參數(shù)方程

分析：（1）由圓C₁的參數(shù)方程為

x=2+2cosφ y=2sinφ

（φ為參數(shù)），利用cos²φ+sin²φ=1可得普通方程．
由圓C₂的極坐標(biāo)方程為ρ=4sinθ，化為ρ²=4ρsinθ，利用

x=ρcosθ y=ρsinθ

即可得出直角坐標(biāo)方程．
（2）聯(lián)立

x2-4x+y2=0 x2+y2-4y=0

，解得交點，再利用兩點之間的距離公式即可得出．

解答： 解：（1）由圓C₁的參數(shù)方程為

x=2+2cosφ y=2sinφ

（φ為參數(shù)），可得普通方程：（x-2）²+y²=4，即x²-4x+y²=0．
由圓C₂的極坐標(biāo)方程為ρ=4sinθ，化為ρ²=4ρsinθ，∴直角坐標(biāo)方程為x²+y²=4y．
（2）聯(lián)立

x2-4x+y2=0 x2+y2-4y=0

，解得

x=0 y=0

，或

x=2 y=2

．
∴圓C₁與圓C₂相交，交點（0，0），（2，2）．
公共弦長=

22+22

=2

2

．

點評：本題考查了參數(shù)方程化為普通方程、極坐標(biāo)方程化為直角方程、兩圓的位置關(guān)系、兩點之間的距離公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．