Question

求下列函數(shù)的極值．

(1)f(x)＝x³－12x；

(2)f(x)＝x²e^－x；

(3)f(x)＝－2．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)函數(shù)定義域?yàn)?B>R．(x)＝3x2－12＝3(x＋2)(x－2)． 　　令(x)＝0，得x＝±2． 　　當(dāng)x＞2或x＜－2時(shí)，(x)＞0， 　　∴函數(shù)在(－∞，2)和(2，＋∞)上是增函數(shù)； 　　當(dāng)－2＜x＜2時(shí)，(x)＜0， 　　∴函數(shù)在(－2，2)上是減函數(shù)． 　　∴當(dāng)x＝－2時(shí)，函數(shù)有極大值f(－2)＝16， 　　當(dāng)x＝2時(shí)，函數(shù)有極小值f(2)＝－16． 　　(2)函數(shù)定義域?yàn)?B>R．(x)＝2xe－x－x2e－x＝x(2－x)e－x， 　　令(x)＝0，得x＝0或x＝2． 　　當(dāng)x＜0或x＞2時(shí)，(x)＜0， 　　∴函數(shù)f(x)在(－∞，0)和(2，＋∞)上是減函數(shù)； 　　當(dāng)0＜x＜2時(shí)，(x)＞0， 　　∴函數(shù)f(x)在(0，2)上是增函數(shù)． 　　∴當(dāng)x＝0時(shí)，函數(shù)取得極小值f(0)＝0， 　　當(dāng)x＝2時(shí)，函數(shù)取得極大值f(2)＝4e－2． 　　(3)函數(shù)的定義域?yàn)?B>R．(x)＝， 　　令(x)＝0，得x＝±1． 　　當(dāng)x＜－1或x＞1時(shí)，(x)＜0， 　　∴函數(shù)f(x)在(－∞，－1)和(1，＋∞)上是減函數(shù)； 　　當(dāng)－1＜x＜1時(shí)，(x)＞0， 　　∴函數(shù)f(x)在(－1，1)上是增函數(shù)． 　　當(dāng)x＝－1時(shí)，函數(shù)取得極小值f(－1)＝－3， 　　當(dāng)x＝1時(shí)，函數(shù)取得極小值f(1)＝－1． 　　思路分析：按照求極值的基本方法，首先從方程(x)＝0求出在函數(shù)f(x)定義域內(nèi)所有可能的極值點(diǎn)，然后按照函數(shù)極值的定義判斷在這些點(diǎn)處是否取得極值．

提示：

解答本題時(shí)，應(yīng)注意(x0)＝0，只是f(x)在x0處有極值的必要條件，如果再加上x(chóng)0附近導(dǎo)數(shù)的符號(hào)相反，才能斷定函數(shù)在x0處取得極值，反映在解題上，錯(cuò)誤判斷極值點(diǎn)或漏掉極值點(diǎn)是學(xué)生經(jīng)常出現(xiàn)的失誤．