Question

某單位擬建一個(gè)扇環(huán)面形狀的花壇(如圖所示)，該扇環(huán)面是由以點(diǎn)為圓心的兩個(gè)同心圓弧和延長(zhǎng)后通過(guò)點(diǎn)的兩條直線段圍成．按設(shè)計(jì)要求扇環(huán)面的周長(zhǎng)為30米，其中大圓弧所在圓的半徑為10米．設(shè)小圓弧所在圓的半徑為米，圓心角為（弧度）．

（1）求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；

（2）已知在花壇的邊緣(實(shí)線部分)進(jìn)行裝飾時(shí)，直線部分的裝飾費(fèi)用為4元/米，弧線部分的裝飾費(fèi)用為9元/米．設(shè)花壇的面積與裝飾總費(fèi)用的比為，求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，并求出為何值時(shí)，取得最大值？

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）1.

【解析】

試題分析：（1）將扇環(huán)面的兩段弧長(zhǎng)和直線段長(zhǎng)分別用與表示后，利用其和為30列式，再解出即可；（2）將花壇的面積和裝飾總費(fèi)用分別用與表示，再利用第（1）問(wèn)的結(jié)果消去，從而可得到關(guān)于函數(shù)，然后可利用導(dǎo)數(shù)或基本等式求其最小值，并確定取最小值時(shí)的值.

試題解析：(1)由弧長(zhǎng)計(jì)算及扇環(huán)面的周長(zhǎng)為30米，得

，所以， 4分

(2) 花壇的面積為． 7分

裝飾總費(fèi)用為， 9分

所以花壇的面積與裝飾總費(fèi)用的比， 11分

令，則，當(dāng)且僅當(dāng)t=18時(shí)取等號(hào)，此時(shí)．

答：當(dāng)x＝１時(shí)，花壇的面積與裝飾總費(fèi)用的比最大． 14分

(注：對(duì)也可以通過(guò)求導(dǎo)，研究單調(diào)性求最值，同樣給分)

考點(diǎn)：函數(shù)在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用，基本不等式的應(yīng)用.