Question

直線l：y=

3

（x-2）和雙曲線C：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）交于A，B兩點，且|AB|=

3

，又l關于直線l₁：y=

b

a

x對稱的直線l₂與x軸平行．
（1）求雙曲線C的離心率；
（2）求雙曲線C的方程．

Answer 1

考點：雙曲線的簡單性質,雙曲線的標準方程

專題：計算題,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（1）先設雙曲線一、三象限漸近線l₁：

x

a

-

y

b

=0的傾斜角為α，根據l和l₂關于直線l₁對稱，又AB：y=

3

（x-2），得出tan2α=

3

，利用二倍角公式求得tanα，從而建立關于a，c的相等關系，最后求得雙曲線C的離心率；
（2）設所求雙曲線的方程，將直線的方程代入雙曲線的方程，消去y得到關于x的一元二次方程，再結合根系數的關系利用弦長公式即可求得k值，從而解決問題．

解答： 解：（1）設雙曲線一、三象限漸近線l₁：

x

a

-

y

b

=0 的傾斜角為α，
∵l和l₂關于直線l₁對稱，記它們的交點為P．而l₂與x軸平行，
記l₂與y軸交點為Q 依題意有∠QPO=∠POM=∠OPM=α（銳角）
又AB：y=

3

（x-2），
故tan2α=

3

  則 

2tanα

1-tan2α

=

3

，求得tanα=

3

3

，
∴

b

a

=

3

3

，e²=

c2

a2

=1+（

b

a

）²=

4

3

，因此雙曲線C的離心率為

2 3

3

；
（2）∵

b

a

=

3

3

，故設所求雙曲線方程：

x2

3k2

-

y2

k2

=1，
將 y=

3

（x-2），代入 x²-3y²=3k²，
消去y得：8x²-36x+36+3k²=0，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），x₁+x₂=

9

2

，x₁x₂=

36+3k2

8

，
則|AB|=

1+3

•|x₁-x₂|=2•

(x2+x1)2-4x1x2

=2

81 4 - 36+3k2 2

=

3

，
化簡求得k²=1．
故所求雙曲線C的方程為：

x2

3

-y²=1．

點評：本題主要考查雙曲線的標準方程、雙曲線的簡單性質，考查運算求解能力，考查方程思想．屬于中檔題．