Question

8．已知拋物線C：y²=4x，過焦點(diǎn)F的直線l與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)，定點(diǎn)M（5，0）．
（Ⅰ）若直線l的斜率為1，求△ABM的面積；
（Ⅱ）若△AMB是以M為直角頂點(diǎn)的直角三角形，求直線l的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）AB的斜率為1時(shí)，l：y=x-1，代入拋物線方程得x²-6x+1=0，求出|AB|，點(diǎn)M到直線AB的距離，即可求△ABM的面積；
（Ⅱ）設(shè)出過焦點(diǎn)弦的直線方程，與拋物線方程聯(lián)立消去y，根據(jù)韋達(dá)定理表示出x₁+x₂=2+$\frac{4}{{k}^{2}}$，x₁x₂=1，y₁y₂=-4，由MA⊥MB，求得k值，進(jìn)而得出結(jié)論．

解答 解：（Ⅰ）由題意F（1，0），當(dāng)AB的斜率為1時(shí)，l：y=x-1  …（1分）
代入拋物線方程得x²-6x+1=0…（2分）
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），x₁+x₂=6，|AB|=x₁+x₂+2=8，…（3分）
點(diǎn)M到直線AB的距離d=$\frac{|5-1|}{\sqrt{2}}$=2$\sqrt{2}$…（4分）
∴△ABM的面積S=$\frac{1}{2}×8×2\sqrt{2}$=8$\sqrt{2}$；         …（5分）
（Ⅱ）易知直線l⊥x時(shí)不符合題意．可設(shè)焦點(diǎn)弦方程為y=k（x-1），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
代入拋物線方程得k²x²-（2k²+4）x+k²=0，則
x₁+x₂=2+$\frac{4}{{k}^{2}}$，x₁x₂=1，y₁y₂=-4
∵M(jìn)A⊥MB，$\overrightarrow{MA}$=（x₁-5，y₁），$\overrightarrow{MB}$=（x₂-5，y₂），
∴$\overrightarrow{MA}$$•\overrightarrow{MB}$=x₁x₂-5（x₁+x₂）+25+y₁y₂=22-5×（2+$\frac{4}{{k}^{2}}$）=0，∴k=$±\frac{\sqrt{15}}{3}$．…（9分）
故L的方程為y=$±\frac{\sqrt{15}}{3}$（x-1）…（10分）

點(diǎn)評 本題主要考查了拋物線的簡單性質(zhì)，考查運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．