Question

已知函數(shù)f（x）=ax-2lnx，a∈R
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的極值；
（Ⅱ）對于曲線上的不同兩點P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），如果存在曲線上的點Q（x₀，y₀），且x₁＜x₀＜x₂，使得曲線在點Q處的切線l∥P₁P₂，則稱l為弦P₁P₂的伴隨切線．當(dāng)a=2時，已知兩點A（1，f（1）），B（e，f（e）），試求弦AB的伴隨切線l的方程；
（Ⅲ）設(shè)g(x)=

a+2e

x

   (a＞0)，若在[1，e]上至少存在一個x₀，使得f（x₀）＞g（x₀）成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

（I）f′(x)=a-

2

x

，x＞0．
當(dāng)a≤0時，f'（x）＜0，函數(shù)f（x）在（0，+∞）內(nèi)是減函數(shù)，∴函數(shù)f（x）沒有極值．
當(dāng)a＞0時，令f'（x）=0，得x=

2

a

．
當(dāng)x變化時，f'（x）與f（x）變化情況如下表：

x	(0， 2 a )	2 a	( 2 a ，+∞)
f'（x）	-	0	+
f（x）	單調(diào)遞減	極小值	單調(diào)遞增

∴當(dāng)x=

2

a

時，f（x）取得極小值f(

2

a

)=2-2ln

2

a

．
綜上，當(dāng)a≤0時，f（x）沒有極值；
當(dāng)a＞0時，f（x）的極小值為2-2ln

2

a

，沒有極小值．
（Ⅱ）當(dāng)a=2時，設(shè)切點Q（x₀，y₀），則切線l的斜率為f′(x0)=2-

2

x0

，x0∈(1，e)．
弦AB的斜率為kAB=

f(e)-f(1)

e-1

=

2(e-1)-2(1-0)

e-1

=2-

2

e-1

．
由已知得，l∥AB，則2-

2

x0

=2-

2

e-1

，解得x₀=e-1，
所以，弦AB的伴隨切線l的方程為：y=

2e-4

e-1

x+2-2ln(e-1)．
（Ⅲ）本命題等價于f（x）-g（x）＞0在[1，e]上有解，
設(shè)F（x）=f（x）-g（x）=ax-2lnx-

a+2e

x

，F(xiàn)'（x）=a-

2

x

+

a+2e

x2

=

ax2-2x+a+2e

x2

=

ax2+a+2(e-x)

x2

＞0，
所以F（x）為增函數(shù)，F(xiàn)（x）_max=F（e）．
依題意需F（e）＞0，解得a＞

4e

e2-1

．
所以a的取值范圍是(

4e

e2-1

，+∞)．