【題目】在三棱柱ABC﹣A1B1C1中,側(cè)面ABB1A1為矩形,AB=2,AA1=2 ,D是AA1的中點,BD與AB1交于點O,且CO⊥平面ABB1A1

(1)證明:CD⊥AB1;
(2)若OC=OA,求直線CD與平面ABC所成角的正弦值.

【答案】
(1)證明:∵D是矩形AA1的中點,∴AD= AA1=

= ,∴△DAB∽△ABB1,∴∠ABD=∠AB1B,

∵∠BAB1+∠AB1B=90°,∴∠BAB1+∠ABD=90°,∴BD⊥AB1

∵CO⊥平面ABB1A1,AB1平面ABB1A1,

∴CO⊥AB1,又CO平面BCD,BD平面BCD,CO∩BD=O,

∴AB1⊥平面BCD,∵CD平面BCD,

∴CD⊥AB1


(2)解:以O為原點,以OD,OB1,OC為坐標軸建立空間直角坐標系如圖所示:

則A(0,﹣ ,0),B(﹣ ,0,0),C(0,0, ),D( ,0,0).

=( ,0,﹣ ), =(﹣ , ,0), =(0, , ).

設平面ABC的法向量為 =(x,y,z),則 ,

,令x=1得 =(1, ,﹣ ).

= ,∴cos< >= =

∴直線CD與平面ABC所成角的正弦值為


【解析】(1)根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理得到線線垂直,再由線線垂直得到線面垂直進而得到線線垂直。(2)根據(jù)題意建立空間直角坐標系如圖所示,求出各個點的坐標進而得到各個向量的坐標,找到平面ABC的法向量繼而求出其與向量AD的數(shù)量積再根據(jù)數(shù)量積公式求出cos的值,進而可得直線CD與平面ABC所成角的正弦值。
【考點精析】通過靈活運用棱柱的結(jié)構特征和空間角的異面直線所成的角,掌握兩底面是對應邊平行的全等多邊形;側(cè)面、對角面都是平行四邊形;側(cè)棱平行且相等;平行于底面的截面是與底面全等的多邊形;已知為兩異面直線,A,C與B,D分別是上的任意兩點,所成的角為,則即可以解答此題.

練習冊系列答案
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銷售單價/元

6

6.5

7

7.5

8

8.5

日均銷售量/桶

480

460

440

420

400

380

請根據(jù)以上數(shù)據(jù)作出分析,這個經(jīng)營部怎樣定價才能獲得最大利潤?

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