Question

【題目】已知定義域為的函數是奇函數

（Ⅰ）求值；

（Ⅱ）判斷并證明該函數在定義域上的單調性；

（Ⅲ）若對任意的，不等式恒成立，求實數的取值范圍；

（Ⅳ）設關于的函數有零點，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ)答案見解析；(Ⅲ) （Ⅳ）.

【解析】試題分析：（1）根據奇函數性質得，解得值；（2）根據單調性定義，作差通分，根據指數函數單調性確定因子符號，最后根據差的符號確定單調性（3）根據奇偶性以及單調性將不等式化為一元二次不等式恒成立問題，利用判別式求實數的取值范圍；（4）根據奇偶性以及單調性將方程轉化為一元二次方程有解問題，根據二次函數圖像與性質求值域，即得實數的取值范圍.

試題解析：（Ⅰ）由題設，需，∴，∴，

經驗證， 為奇函數，∴.

（Ⅱ）減函數

證明：任取， ，且，則，

∵

∴

∴， ；

∴，即

∴該函數在定義域上是減函數.

（Ⅲ）由得，

∵是奇函數，∴，

由（Ⅱ）知， 是減函數

∴原問題轉化為，即對任意恒成立，

∴，得即為所求.

（Ⅳ）原函數零點的問題等價于方程

由（Ⅱ）知， ，即方程有解

∵，

∴當時函數存在零點.

點睛:利用函數性質解不等式：首先根據函數的性質把不等式轉化為的形式，然后根據函數的單調性去掉“”，轉化為具體的不等式(組)，此時要注意與的取值應在外層函數的定義域內.