Question

設函數(shù)y=f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，對任意x∈R，有f（x+6）=f（x）+f（3）成立，且f（-2）=-1，當x₁，x₂∈[0，3]且x₁≠x₂時，有

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞0，給出下列命題：
①f（2012）=-1；
②x=-6是y=f（x）圖象的一條對稱軸；
③y=f（x）在[-9，-6]上是增函數(shù)；
④函數(shù)y=f（x）在[-9，9]上有4個零點．
正確命題的序號是（　　）

• A、①②
• B、③④
• C、①②③④
• D、①②④

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應用

專題：函數(shù)的性質及應用

分析：由已知求出函數(shù)的周期為6，結合f（-2）=-1可求得f（2012）=-1；
由-12為周期及函數(shù)為偶函數(shù)求得直線x=-6是函數(shù)y=f（x）圖象的一條對稱軸；
由函數(shù)在[0，3]上為增函數(shù)及x=-6是函數(shù)y=f（x）圖象的一條對稱軸可得y=f（x）在[-9，-6]上為減函數(shù)；
由函數(shù)的增減性、對稱性、奇偶性、周期及f（3）=0可得方程f（x）=0在[-9，9]上有4個根．

解答： 解：由函數(shù)f（x）為偶函數(shù)可得，f（-3）=f（3），
∵f（x+6）=f（x）+f（3），
令x=-3可得，f（3）=f（-3）+f（3）=2f（3），
∴f（3）=0，
∴f（x+6）=f（x）+f（3）=f（x），即f（x+6）=f（x）．
又f（-2）=-1．
①f（2012）=f（335×6+2）=f（2）=f（-2）=-1，
∴f（2012）=-1，①正確；
②由（x+6）=f（x），可知6為函數(shù)的周期，則-12為函數(shù)的周期，
∴f（-12+x）=f（x）=f（-x），則x=

-12+x-x

2

=-6為函數(shù)的對稱軸，②正確；
③由x₁，x₂∈[0，3]且x₁≠x₂時，都有

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞0，0可知函數(shù)在[0，3]上為增函數(shù)，
則函數(shù)在[-6，-3]上為增函數(shù)，又x=-6為對稱軸，則在[-9，-6]上為減函數(shù)，③正確；
④∵f（3）=0，
∴f（-3）=0，f（9）=f（6+3）=0，f（-9）=0，結合函數(shù)的周期為6及函數(shù)的增減性可得方程f（x）=0在[-9，9]上僅有4個根，④正確．
故正確命題為：①②④．
故選：D

點評：本題考查了命題的真假判斷與應用，考查了函數(shù)的性質，訓練了函數(shù)的單調性、奇偶性、周期性的用法，是中檔題．