Question

已知數(shù)列{a_n}，{b_n}中，a₁=a，{b_n}是公比為

2

3

的等比數(shù)列．記b_n=

an-2

an-1

（n∈N^*），若不等式a_n＞a_n+1對(duì)一切n∈N^*恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的函數(shù)特性

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：根據(jù)b_n=

an-2

an-1

表示出a_n來(lái)，再由a_n＞a_n+1解a 取值范圍即可．

解答： 解∵bn=

an-2

an-1

(n∈N*)，
∴an=

bn-2

bn-1

．
∴an+1-an=

bn+1-2

bn+1-1

-

bn-2

bn-1

=

1

bn-1

-

1

bn+1-1

=

bn+1-bn

(1-bn+1)(1-bn)

=

- 1 3 bn

(1- 2 3 bn)(1-bn)

＜0，
解得bn＞

3

2

或0＜b_n＜1．
若bn＞

3

2

，則b1(

2

3

)n-1＞

3

2

對(duì)一切正整數(shù)n成立，顯然不可能；
若0＜b_n＜1，則0＜b1(

2

3

)n-1＜1對(duì)一切正整數(shù)n成立，只要0＜b₁＜1即可，即0＜

a1-2

a1-1

＜1，
解得a₁=a＞2．
故答案為a＞2．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查等比數(shù)列的性質(zhì)和參數(shù)范圍的求解，屬于基礎(chǔ)題．