已知橢圓C上的點P（1，
2
2
）到左、右焦點F1，F(xiàn)2的距離之和為2
2
．
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）過點（0．-
1
3
）的直線l交橢圓C于A，B兩點，求證：以AB為直徑的圓恒過一定點（其坐標與直線l的位置無關）．
考點：直線與圓錐曲線的綜合問題
專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題
分析：（1）設橢圓方程為
x2
a2
+
y2
b2
=1，（a＞b＞0），由已知得
2a=2
2
1
a2
+
1
2b2
=1
，由此能求出橢圓C的標準方程．
（2）設直線方程為y+
1
3
=kx，代入橢圓方程得
x2
2
+y2=1，得（1+2k2）x2-
4
3
kx-
16
9
=0，由此利用韋達定理、圓的性質結合已知條件能證明以AB為直徑的圓恒過一定點（0，1）．
解答： （1）解：∵橢圓C上的點P（1，
2
2
）到左、右焦點F1，F(xiàn)2的距離之和為2
2
，
∴設橢圓方程為
x2
a2
+
y2
b2
=1，（a＞b＞0），
且
2a=2
2
1
a2
+
1
2b2
=1
，
解得a=
2
，b=1，
∴橢圓C的標準方程為
x2
2
+y2=1．
（2）證明：設直線方程為y+
1
3
=kx
代入橢圓方程得
x2
2
+y2=1，得x2+2（kx-
1
3
）2=2
（1+2k2）x2-
4
3
kx-
16
9
=0，
設A（x1，y1），B（x2，y2），
則x1+x2=
4k
3(1+2k2)
，x1•x2=-
16
9(1+2k2)
，①
以AB為直徑的圓為：（x-x1）（x-x2）+（y-y1）（y-y2）=0，②
把①代入②，得18（x2+y2-1）k2-12kx+9x2+9y2+6y-15=0對任意k恒成立，
則
x2+y2-1=0
-12kx=0
9x2+9y2+6y-15=0
，解得x=0，y=1，
∴以AB為直徑的圓恒過一定點（0，1）．
點評：本題考查橢圓的標準方程的求法，考查圓恒過定點的證明，解題時要認真審題，注意函數(shù)與方程思想的合理運用．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設集合A={1，2}，則（　�。�
A、1⊆AB、1∉A
C、{1}∈AD、1∈A

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

命題：
（1）零向量的模為0；
（2）550°為第二象限的角；
（3）y=sinx的對稱中心為(
π
2
+kπ，0)；
（4）y=sinx的圖象向右平移
π
2
個單位后得到一個奇函數(shù)；
（5）與40°終邊相同的角的集合可以寫成{α|α=40°+kπ，k∈z}
其中正確命題的編號為
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

函數(shù)y=(
1
2
)x-2的圖象必過（　�。�
A、第一、三、四象限
B、第二、三、四象限
C、第一、二、三象限
D、第一、二、四象限

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}，{bn}中，a1=a，{bn}是公比為
2
3
的等比數(shù)列．記bn=
an-2
an-1
（n∈N*），若不等式an＞an+1對一切n∈N*恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知a，b∈R，b≠0，曲線y=x3-ax2-bx和直線 y=ax+b有交點Q（m，n）（m，n∈Z），則a，b滿足的等量關系式為
 
．（不能含其它參量）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

為得到函數(shù)y=sin2x的圖象，只需將y=cos（x+3）的圖象
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設V是已知平面M上所有向量的集合，對于映射f：V→V，a∈V，記a的象為f（a）．若映射f：V→V滿足：對所有a，b∈V及任意實數(shù)λ，μ都有f（λa+μb）=λf（a）+μf（b），則f稱為平面M上的線性變換．現(xiàn)有下列命題：
①設f是平面M上的線性變換，a∈V，則對任意實數(shù)k均有f（ka）=kf（a）；
②對a∈V，設f（a）=2a，則f是平面M上的線性變換；
③設f是平面M上的線性變換，a，b∈V，若a，b共線，則f（a），f（b）也共線；
④若e是平面M上的單位向量，對a∈V，設f（a）=a-e，則f是平面M上的線性變換．
其中真命題是
 
（寫出所有真命題的序號）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

兩個球的體積之比為8：27，則它們的表面積的比是（　�。�
A、2：3
B、
2
：
3
C、4：9

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