Question

10．已知雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＜0）的離心率為$\sqrt{3}$，焦點到漸近線的距離為2．
（1）求雙曲線C的方程；
（2）已知直線x-y+m=0與雙曲線C交于不同的兩點A，B，且線段AB的中點在圓x²+y²=5上，求m的值．

Answer 1

分析 （1）由雙曲線的離心率公式，雙曲線的漸近線方程，及點到直線的距離公式即可求得a和b的值，求得橢圓方程；
（2）將直線方程代入雙曲線方程，利用韋達定理定理及中點坐標公式，代入圓的方程即可求得m的值．

解答 解：（1）由雙曲線的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{3}$，c=$\sqrt{3}$a，
雙曲線的漸近線方程l：y=±$\frac{a}$x，焦點為F（c，0），
則焦點到漸近線的距離d=$\frac{bc}{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}$=b=3，
由c²=a²+b²，解得：a²=$\frac{9}{2}$，
∴雙曲線的方程為：$\frac{{x}^{2}}{\frac{9}{2}}-\frac{{y}^{2}}{9}=1$；
（2）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則線段AB的中點M（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$，$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}$），
即x²-2mx-m²-9=0，
由題意可知：$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{\frac{9}{2}}-\frac{{y}^{2}}{9}=1}\\{x-y+m=0}\end{array}\right.$，整理得：x²-2mx-m²-9=0，
∴x₁+x₂=2m，
∴y₁+y₂=（x₁+m）（x₂+m）=x₁+x₂+2m=4m，
∴M（m，2m）
∴將M點坐標代入圓的方程x²+y²=5中，解得：m=±1，
m的值±1．

點評 本題考查雙曲線的簡單幾何性質(zhì)及雙曲線方程的求法，考查直線與雙曲線的位置關系，韋達定理及中點坐標公式，考查計算能力，屬于中檔題．