Question

由于濃酸泄漏對(duì)河流形成了污染，現(xiàn)決定向河中投入固體堿．1個(gè)單位的固體堿在水中逐步溶化，水中的堿濃度y（個(gè)濃度單位）與時(shí)間x（個(gè)時(shí)間單位）的關(guān)系為y=

- 24 x+3 -x+8，   0≤x≤ 3 2 23 12 - 1 2 x   ，       3 2 ＜x≤ 23 6

．只有當(dāng)河流中堿的濃度不低于1（個(gè)濃度單位）時(shí)，才能對(duì)污染產(chǎn)生有效的抑制作用．
（1）如果只投放1個(gè)單位的固體堿，則能夠維持有效抑制作用的時(shí)間有多長(zhǎng)？
（2）當(dāng)河中的堿濃度開(kāi)始下降時(shí)，即刻第二次投放1個(gè)單位的固體堿，此后，每一時(shí)刻河中的堿濃度認(rèn)為是兩次投放的堿在該時(shí)刻相應(yīng)的堿濃度的和，求河中堿濃度可能取得的最大值．

Answer 1

分析：（1）利用分段函數(shù)解析式，分別列出不等式，解之，即可求得x的范圍，從而可得能夠維持有效抑制作用的時(shí)間；
（2）確定函數(shù)y=-

24

(x+3)

-x+8單調(diào)遞增，當(dāng)2＜x≤4時(shí)，y=

23

11

-

1

2

x單調(diào)遞減，進(jìn)而可得函數(shù)，利用基本不等式，即可求得最值．

解答：解：（1）由題意，

- 24 x+3 -x+8≥1 0≤x≤ 3 2

⇒

1≤x≤3 0≤x≤ 3 2

⇒1≤x≤

3

2

--------（2分）

23 12 - 1 2 x≥1 3 2 ＜x≤ 23 6

⇒

3

2

＜x≤

11

6

-------------（4分）
綜上，得1≤x≤

11

6

-------------（5分）
即若1個(gè)單位的固體堿只投放一次，則能夠維持有效抑制作用的時(shí)間為

11

6

-1=

5

6

----（6分）
（2）當(dāng)0≤x≤

3

2

時(shí)，y′=

24-(x+3)2

(x+3)2

＞0，所以y=-

24

(x+3)

-x+8單調(diào)遞增------（7分）
當(dāng)2＜x≤4時(shí)，y=

23

11

-

1

2

x單調(diào)遞減-------------（8分）
所以當(dāng)河中的堿濃度開(kāi)始下降時(shí)，即刻第二次投放1個(gè)單位的固體堿，即x＞

3

2

，
由

0≤x- 3 2 ≤ 3 2 3 2 ＜x≤ 23 6

得

3

2

＜x≤3，當(dāng)x＞3時(shí)，第一、二次投放的固體堿的濃度均在下降（或降為0）．
所以最大濃度發(fā)生的時(shí)間位于區(qū)間(

3

2

，3]---------（9分）
當(dāng)

3

2

＜x≤3時(shí)，y=

23

12

-

1

2

x+[-

24

(x- 3 2 )+3

-(x-

3

2

)+8]------------------（10分）
=-

3

2

(x+

3

2

)-

24

x+ 3 2

+

41

3

≤-12+

41

3

=

5

3

----------（11分）
故當(dāng)且僅當(dāng)x+

3

2

=

16

x+ 3 2

，即x=

5

2

時(shí)，y有最大值

5

3

．-------------------（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查分段函數(shù)，考查解不等式，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查利用基本不等式求函數(shù)的最值，確定函數(shù)的解析式是關(guān)鍵．