Question

△ABC內(nèi)角A、B、C成等差，
①若a、b、c成等比，則△ABC等邊三角形；
②若a=2c，則△ABC銳角三角形；
③若

AB

2=

AB

•

AC

+

BA

•

BC

+

CA

•

CB

，則3A=C；
④若tanA+tanC＞-

3

，則△ABC為鈍角三角形．
其中正確命題的個數(shù)是（　�。�

• A、1
• B、2
• C、3
• D、4

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列,解三角形,平面向量及應(yīng)用

分析：△ABC內(nèi)角A、B、C成等差數(shù)列⇒B=60°．
①，a、b、c成等比⇒b²=ac，利用余弦定理a²+c²-2accosB=ac可得a=c，可判斷①；
②，若a=2c⇒sinA=2sinC，即sinA=2sin（120°-A），利用此式可求得A=90°，從而可判斷②；
③，依題意，利用向量的加減運(yùn)算可求得abcosC=0，即C=90°，結(jié)合B=60°⇒A=30°，可判斷③；
④，令A(yù)=C=60°，舉例說明可判斷④．

解答： 解：∵△ABC內(nèi)角A、B、C成等差，
∴2B=A+C，3B=A+B+C=180°，
∴B=60°．
對于①，若a、b、c成等比，則b²=ac，即a²+c²-2accosB=ac，
所以，a²+c²-2ac=（a-c）²=0，
所以a=c，故△ABC為等邊三角形，①正確；
對于②，若a=2c，由正弦定理得：sinA=2sinC，即sinA=2sin（120°-A）=2sin120°cosA-2cos120°sinA=

3

cosA+sinA，
所以，

3

cosA=0，A=90°，△ABC為直角三角形，②錯誤；
對于③，因?yàn)?span id="178oeui" class="MathJye">

AB

2=

AB

•

AC

+

BA

•

BC

+

CA

•

CB

=

AB

（

AC

+

CB

）+

CA

•

CB

=

AB

2+abcosC，
所以，abcosC=0，C=90°，又B=60°，故A=30°，
所以，3A=C，③正確；
對于④，若A=C=60°，tanA+tanC=2

3

＞-

3

，但此時△ABC為銳角三角形，④錯誤．
綜上所述，正確命題的個數(shù)是2個，
故選：B．

點(diǎn)評：本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，著重考查正弦定理與余弦定理的應(yīng)用，考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的性質(zhì)，考查向量的運(yùn)算法則及數(shù)量積的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想．