Question

已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＞0），在同一周期內(nèi)，當(dāng)時(shí)，f（x）取得最大值3；當(dāng)時(shí)，f（x）取得最小值﹣3．

（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的解析式；

（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；

（Ⅲ）若時(shí)，函數(shù)h（x）=2f（x）+1﹣m有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：

正弦函數(shù)的單調(diào)性；根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷；由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式．

專題：

三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)．

分析：

（Ⅰ）由題意可得A=3，根據(jù)周期T=2（ ）=，求得ω=2．由2×+φ=2kπ+，k∈z，以及﹣π＜φ＜π，可得 φ的值，從而求得函數(shù)的解析式．

（Ⅱ）由 2kπ+≤2x+≤2kπ+，k∈z，求得x的范圍，即可求得函數(shù)的減區(qū)間．

（Ⅲ）函數(shù)y=sin（2x+）的圖象和直線y=在上有2個(gè)交點(diǎn)，再由 2x+∈[﹣，]，y=sin（2x+）的圖象可得 ∈[，1），由此求得實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解答：

解：（Ⅰ）由題意可得A=3，周期T=2（ ）=，∴ω=2．

由2×+φ=2kπ+，k∈z，以及﹣π＜φ＜π，可得 φ=，故函數(shù)f（x）=3sin（2x+）．

（Ⅱ）由 2kπ+≤2x+≤2kπ+，k∈z，求得kπ+≤x≤kπ+，

 故函數(shù)的減區(qū)間為[kπ+，kπ+]，k∈z．

（Ⅲ）∵時(shí)，函數(shù)h（x）=2f（x）+1﹣m有兩個(gè)零點(diǎn)，故 sin（2x+）= 有2個(gè)實(shí)數(shù)根．

即函數(shù)y=sin（2x+）的圖象和直線y= 有2個(gè)交點(diǎn)．

再由 2x+∈[﹣，]，結(jié)合函數(shù)y=sin（2x+）的圖象可得 ∈[，1），解得 m∈[3+1，7），

即 實(shí)數(shù)m的取值范圍是[3+1，7）．

點(diǎn)評：

本題主要考查方程的根的存在性及個(gè)數(shù)判斷，由函數(shù)y=Asin（ωx+∅）的部分圖象求解析式，正弦函數(shù)的定義域和值域，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．