Question

10．已知△ABC的外接圓圓心為O，半徑R=1，且2$\overrightarrow{OA}$+3$\overrightarrow{OB}$+4$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow 0$，則AC=$\frac{{3\sqrt{6}}}{4}$．

Answer 1

分析 可以由$2\overrightarrow{OA}+3\overrightarrow{OB}+4\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{0}$得到$2\overrightarrow{OA}+4\overrightarrow{OC}=-3\overrightarrow{OB}$，根據(jù)條件兩邊平方，進(jìn)行數(shù)量積的運(yùn)算便可得到$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OC}=-\frac{11}{16}$，而$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OA}$，兩邊平方即可求出${\overrightarrow{AC}}^{2}$，進(jìn)而得出$|\overrightarrow{AC}|$的值，即AC的值．

解答 解：如圖，由題意得：$|\overrightarrow{OA}|=|\overrightarrow{OB}|=|\overrightarrow{OC}|=1$；

由$2\overrightarrow{OA}+3\overrightarrow{OB}+4\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{0}$得，$2\overrightarrow{OA}+4\overrightarrow{OC}=-3\overrightarrow{OB}$，兩邊平方得：
$4+16\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OC}+16=9$；
∴$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OC}=-\frac{11}{16}$；
∴$（\overrightarrow{AC}）^{2}=（\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OA}）^{2}$
=${\overrightarrow{OC}}^{2}-2\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OC}+{\overrightarrow{OA}}^{2}$
=$1+\frac{22}{16}+1$
=$\frac{54}{16}$；
∴$|\overrightarrow{AC}|=\frac{3\sqrt{6}}{4}$；
即$AC=\frac{3\sqrt{6}}{4}$．
故答案為：$\frac{3\sqrt{6}}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 考查三角形外接圓的概念，向量的數(shù)乘運(yùn)算，以及向量數(shù)量積的運(yùn)算及計(jì)算公式，向量減法的幾何意義，以及要求$|\overrightarrow{AC}|$而求${\overrightarrow{AC}}^{2}$的方法．