Question

已知橢圓C中心在原點O，焦點在x軸上，其長軸長為焦距的2倍，且過點M（1，

3

2

），F(xiàn)為其左焦點．
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）過左焦點F的直線l與橢圓交于A、B兩點，當|AB|=

18

5

時，求直線l的方程．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的關(guān)系,橢圓的簡單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）由已知得a=2c，結(jié)合隱含條件把a，b用c表示，代入點的坐標可得橢圓方程；
（2）分直線斜率存在和不存在，當斜率不存在時，利用弦長公式列式求得直線的斜率，則答案可求．

解答： 解：（1）由條件知：a=2c，∴b²=a²-c²=3c²，
設(shè)橢圓的標準方程為

x2

4c2

+

y2

3c2

=1，又過點M（1，

3

2

），
∴

1

4c2

+

( 3 2 )2

3c2

=1，
∴c²=1．
∴a²=4，b²=3，
∴橢圓的標準方程為

x2

4

+

y2

3

=1；
（Ⅱ）當直線l的斜率不存在時，|AB|=3，不合題意．
當直線l的斜率存在時，設(shè)直線l：y=k（x+1），
由

y=k(x+1) x2 4 + y2 3 =1

，得：
（3+4k²）x²+8k²x+4k²-12=0．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∴x1+x2=-

8k2

3+4k2

，x1x2=

4k2-12

3+4k2

．
∴|AB|=

1+k2

•

(x1-x2)2-4x1x2

=

(1+k2)[(- 8k2 3+4k2 )2-4• 4k2-12 3+4k2 ]

=

12k2+12

4k2+3

=

18

5

，
解得：k=±

2

2

．
∴直線的方程為y=-

2

2

(x+1)或y=

2

2

(x+1)．

點評：本題考查了橢圓的簡單幾何性質(zhì)，考查了弦長公式的應用，考查了學生的計算能力，是中檔題．