Question

定義：max{x，y}表示x、y兩個(gè)數(shù)中的最大值，min{x，y}表示x、y兩個(gè)數(shù)中的最小值．給出下列4個(gè)命題：
①max{x₁，x₂}≥a?x₁≥a且x₂≥a；
②max{x₁，x₂}≤a?x₁≤a且x₂≤a；
③設(shè)函數(shù)f（x）和g（x）的公共定義域?yàn)镈，若x∈D，f（x）≥g（x）恒成立，則[f（x）]_min≥[g（x）]_max；
④若函數(shù)f（x）=min{|x|，|x+t|}的圖象關(guān)于直線x=-

1

2

對(duì)稱，則t的值為1．
其中真命題是

 

．（寫出所有真命題的序號(hào)）

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：綜合題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：①，由max{x₁，x₂}≥a?x₁≥a或x₂≥a，可判斷①；
②，由max{x₁，x₂}≤a知x₁≤a且x₂≤a，可判斷②；
③，依題意，若x∈D，f（x）≥g（x）恒成立，則[f（x）]_min≥[g（x）]_max，可判斷③；
④，作出函數(shù)f（x）=min{|x|，|x+t|}關(guān)于直線x=-

1

2

對(duì)稱的圖象，可求得t的值，可判斷④．

解答： 解：對(duì)于①，max{x₁，x₂}≥a?x₁≥a或x₂≥a，故①錯(cuò)誤；
對(duì)于②，max{x₁，x₂}≤a?x₁≤a且x₂≤a，故②正確；
對(duì)于③，設(shè)函數(shù)f（x）和g（x）的公共定義域?yàn)镈，若x∈D，f（x）≥g（x）恒成立，則[f（x）]_min≥[g（x）]_max，故③正確；
對(duì)于④，若函數(shù)f（x）=min{|x|，|x+t|}的圖象關(guān)于直線x=-

1

2

對(duì)稱，作圖如下：

圖象中的右邊是y=|x|，左邊是y=|x+t|，因?yàn)楹瘮?shù)f（x）=min{|x|，|x+t|}的圖象關(guān)于直線x=-

1

2

對(duì)稱，
所以y=|x|與y=|x+t|的交點(diǎn)橫坐標(biāo)為x=-

1

2

，易知AB的中點(diǎn)橫坐標(biāo)為x=-

1

2

，
所以A（-1，0），故有：t=1，故④正確；
故答案為：②③④．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的最值問題，著重考查恒成立問題與函數(shù)的對(duì)稱性，作圖是關(guān)鍵，也是難點(diǎn)，屬于難題．