Question

已知f（x）=ax²+4x+1（a＜0），當(dāng)x∈[0，t]（t＞0）時，|f（x）|的最大值為3，
（1）當(dāng)a=-1時，求t的值；           
（2）求t關(guān)于a的表達式g（a）；
（3）求g（a）的最大值．

Answer 1

分析：（1）當(dāng)a=-1時，f（x）=-x²+4x+1．又對稱軸是x=2，而f（2）=5，判斷出0＜t＜2，由f（x）=3求解．
（2）在（1）的基礎(chǔ)上，由特殊到一般：將f（x）配方得出f(x)=ax2+4x+1=a(x+

2

a

)2+1-

4

a

，分1-

4

a

＞3，1-

4

a

≤3兩類求解．
（3）按照分段函數(shù)求最值的方法，逐段求最大值，再“大中取大”得出g（a）的最大值．

解答：解：（1）當(dāng)a=-1時，f（x）=-x²+4x+1，
因為f（0）=1＞0，令-x²+4x+1=3得：x1=2-

2

，x2=2+

2

又對稱軸是x=2，而f（2）=5＞3，所以t=2-

2

…（4分）
（2）f(x)=ax2+4x+1=a(x+

2

a

)2+1-

4

a

（�。┊�(dāng)1-

4

a

＞3時，即a∈（-2，0）時，
令ax²+4x+1=3得：x1=

4+2a -2

a

，x2=

- 4+2a -2

a

此時，g（a）=

4+2a -2

a

．…（7分）
（ⅱ）當(dāng)1-

4

a

≤3時，即a∈（-∞，-2]時，
令ax²+4x+1=-3得：x1=

2( 1-a -1)

a

，x2=-

2( 1-a +1)

a

此時，g（a）=-

2( 1-a +1)

a

．
綜上：當(dāng)a∈（-2，0）時，g（a）=

4+2a -2

a

．
當(dāng)a∈（-∞，-2]時，g（a）=-

2( 1-a +1)

a

．
（3）（ⅰ）a∈（-∞，-2]時，g（a）=-

2( 1-a +1)

a

=

-2a

-a( 1-a -1)

=

2

1-a -1

≤

2

3 -1

=

3

+1…（13分）
（ⅱ）a∈（-2，0）時，g（a）=

4+2a -2

a

=

2a

a( 4+2a +2)

=

1

1+ a 2 +1

＜1
因為

3

+1＞1，所以g（a）的最大值為

3

+1．…（16分）

點評：本題考查二次函數(shù)的圖象、性質(zhì)，考查分類討論、計算能力．由特殊到一般是人們認(rèn)識研究事物的方法之一，本題中問題（2）的思維切入點是由（1）導(dǎo)入的．此種問題的設(shè)置形式和思維方法在數(shù)學(xué)各個章節(jié)題目中都有．希體會、積累、掌握．