Question

已知，x∈[2，4]
（1）求f（x）的解析式及定義域；
（2）若方程f（x）=a有實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）令t=log₂x，利用換元法，可求出f（x）的解析式，進(jìn)而將x反表示為x=2^t，結(jié)合x∈[2，4]，求出中間元t的取值范圍，即為f（x）的定義域；
（2）根據(jù)（1）中函數(shù)的解析式，結(jié)合二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)及指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，求出函數(shù)f（x）值域，可得方程f（x）=a有實(shí)數(shù)根時(shí)，實(shí)數(shù)a的取值范圍．
解答：解：（1）令t=log₂x，則x=2^t，
∵x∈[2，4]
∴t∈[1，2]
由得
f（t）=（2^t）²-2•2^t+4=2^2t-2^t+1+4，t∈[1，2]
∴f（x）=2^2x-2^x+1+4，x∈[1，2]
（2）∵f（x）=（2^x-1）²+3，x∈[1，2]
故當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)f（x）取最小值4
當(dāng)x=2時(shí)，函數(shù)f（x）取最大值12
若方程f（x）=a有實(shí)數(shù)根，
則a∈[4，12]
即實(shí)數(shù)a的取值范圍為[4，12]
點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)解析式的求解及常用方法，函數(shù)的定義域及其求法，函數(shù)的零點(diǎn)，熟練掌握換元法求解析式的方法與步驟是解答的關(guān)鍵．