Question

【題目】如圖所示, 在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AB=5，AA1＝4，點D是AB的中點，

（1）求證： AC1//平面CDB1；

（2）求二面角C1-AB-C的平面角的正切值.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（3）

【解析】

（1）連接DE，得DE∥AC1，由直線與平面平行的判定定理得AC1∥平面CDB1.

（2）過點C作AB的垂線CF交AB于點F，連C1F，得∠CFC1為C﹣AB﹣C1的平面角，得FC，在Rt△C1CF中得FC，解三角形即可求二面角C﹣AB﹣C1的正切值．

（1）連接DE，由題意可知：DE為△ABC1的中位線，可知DE∥AC1，由 AC1∥平面CDB.

（2）過點C作AB的垂線CF交AB于點F，連C1F，∵ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，

∴CC1⊥AB，又由AB⊥CF且CC1∩CF＝C，∴AB⊥平面CFC1，∴AB⊥FC1

于是有 ∠CFC1為C﹣AB﹣C1的平面角，在Rt△C1CF中得FC＝＝.

在Rt△C1CF中，CC1＝4，CF ．

∴二面角C﹣AB﹣C1的正切值為.