Question

【題目】一個有限整數(shù)數(shù)列稱為一個“好數(shù)列”，是指對每個均使得等式成立.證明：對任何兩個整數(shù)，都存在一個自然數(shù)和一個“好數(shù)列”，滿足.

Answer 1

【答案】見解析

【解析】

由題設(shè)有.

故.

設(shè)， 只須證：

對任何整數(shù)， 存在自然數(shù)，可以在形如中的“（ ）”內(nèi)適當(dāng)填上“+”或“-”，使其等于.

由于對任意自然數(shù)，有，

.

故對于中任意連續(xù)4項(xiàng)，可適當(dāng)填上“+”或“-”，使其等于4或- 4.

下面分 4 種情形討論.

（1）時， 取，顯然滿足要求.（另，因限制，則可取，使前4項(xiàng)和為4，后4項(xiàng)和為-4.）

（2）時，取，在填“+”，而使后面的項(xiàng)和為，此時，項(xiàng)和為.

（3）時，取，使前4項(xiàng)和為，后面項(xiàng)和為，此時，項(xiàng)和為.

（4）時，取，在前填“－”，而使后面的項(xiàng)和為，此時，項(xiàng)和為.

綜上所述，所證命題成立.