Question

已知f（x）=

1

x-1

，x∈[2，6]．
（1）證明：f（x）是定義域上的減函數(shù)；
（2）求f（x）的最大值和最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明,函數(shù)的最值及其幾何意義

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：本題（1）利用函數(shù)的單調(diào)性定義證明f（x）是定義域上的減函數(shù)，得到本題結(jié)論；（2）函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合函數(shù)的定義域，求出f（x）的最大值和最小值，得到本題結(jié)論．

解答： 解：（1）在區(qū)間[2，6]上任取x₁，x₂，且取x₁＜x₂，
則：f（x₁）-f（x₂）=

1

x1-1

-

1

x2-1

=

x2-x1

(x1+1)(x2+1)

，
∵2＜x₁＜x₂＜6，
∴x₁-1＞0，x₂-1＞0，x₂-x₁＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，
∴f（x_1）＞f（x₂），
∴f（x）是定義域上的減函數(shù)．
（2）由（1）知：f（x）是定義域上的減函數(shù)．
∵x∈[2，6]
∴f（2）≥f（x）≥f（6），
∴

1

5

≤f(x)≤1．
∴f（x）的最大值為1，f（x）的最小值為

1

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的單調(diào)性的定義和應(yīng)用，本題難度不大，屬于基礎(chǔ)題．