Question

若ax²+x+1＜0，求x的取值范圍．

Answer 1

考點：一元二次不等式的解法

專題：不等式的解法及應用

分析：對a分類，a=0時直接求解一次不等式得答案；
當a≠0時，利用二次不等式對應方程ax²+x+1=0根的情況及對應二次函數(shù)圖象的開口方向得到不等式ax²+x+1＜0的解集．

解答： 解：當a=0時，不等式ax²+x+1＜0化為x+1＜0，解得：x＜-1；
當a＞0時，若a≥

1

4

，則1-4a≤0，不等式ax²+x+1＜0的解集為∅；
若0＜a＜

1

4

，解ax²+x+1=0得：x=

-1± 1-4a

2a

，
∴不等式ax²+x+1＜0的解集為{x|

-1- 1-4a

2a

＜x＜

-1+ 1-4a

2a

}；
當a＜0時，1-4a＞0，解ax²+x+1=0得：x=

-1± 1-4a

2a

，
∴不等式ax²+x+1＜0的解集為{x|x＜

-1+ 1-4a

2a

或x＞

-1- 1-4a

2a

}．
綜上，當a＜0時，不等式ax²+x+1＜0的解集為{x|x＜

-1+ 1-4a

2a

或x＞

-1- 1-4a

2a

}；
當a=0時，不等式ax²+x+1＜0的解集為{x|x＜-1}；
當0＜a＜

1

4

時，不等式ax²+x+1＜0的解集為{x|

-1- 1-4a

2a

＜x＜

-1+ 1-4a

2a

}；
當a≥

1

4

時，不等式ax²+x+1＜0的解集為∅．

點評：本題考查了分類討論的數(shù)學思想方法，考查了一元一次不等式和一元二次不等式的解法，訓練了利用“三個二次”的結(jié)合求解二次不等式，是中檔題．