Question

已知函數(shù)，
（1）若m∈Z，判定f（x）的奇偶性；
（2）若，判斷f（x）在（1，+∞）上的單調(diào)性，并給予證明．

Answer 1

解：（1）m是奇數(shù)時(shí)，定義域是{ x|x≠0}，
f（-x）=-f（x），f（x）為奇函數(shù)，
m為偶數(shù)時(shí)，定義域是{ x|x≠0}，
f（-x）≠-f（x）且f（-x）≠f（x），
f（x）既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)；

（2）由，得m=2，∴，
f（x）在（1，+∞）上的單調(diào)增函數(shù)，
證明：設(shè)a＞b＞1，f（a）-f（b）=a²+-b²-=（a+b）（a-b）-
=（a-b）（a+b-）
∵a＞b＞1，∴a-b＞0，a+b＞，∴（a-b）（a+b-）＞0，
∴f（a）-f（b）＞0，f（x）在（1，+∞）上的單調(diào)增函數(shù)．
分析：（1）分m是奇數(shù)，m為偶數(shù)兩種情況來(lái)討論，考查定義域及f（-x）與f（x）的關(guān)系，依據(jù)奇偶性的定義進(jìn)行判斷．
（2）由，得m=2，從而得到f（x）的解析式，設(shè)a＞b＞1，化簡(jiǎn)f（a）-f（b）的表達(dá)式為因式乘積的形式，判斷符號(hào)，得出結(jié)論．
點(diǎn)評(píng)：本題考查判斷函數(shù)奇偶性的方法及步驟，體現(xiàn)分類討論的數(shù)學(xué)思想．