Question

如圖所示，為正方體，給出以下五個(gè)結(jié)論：

①平面；

②⊥平面；

③與底面所成角的正切值是；

④二面角的正切值是；

⑤過(guò)點(diǎn)且與異面直線 和 均成70°角的直線有2條．

其中，所有正確結(jié)論的序號(hào)為________．

Answer 1

①②④

【解析】

試題分析：如下圖，正方體ABCD﹣A1B1C1D1 中，

由于BD∥B1D1 ，由直線和平面平行的判定定理可得BD∥平面CB1D1 ，故①正確．

由正方體的性質(zhì)可得B1D1⊥A1C1，CC1⊥B1D1，故B1D1⊥平面 ACC1A1，故 B1D1⊥AC1．

同理可得 B1C⊥AC1．再根據(jù)直線和平面垂直的判定定理可得，AC1⊥平面CB1D1 ，故②正確．

AC1與底面ABCD所成角的正切值為，故③不正確．

取B1D1 的中點(diǎn)M，則∠CMC1 即為二面角C﹣B1D1﹣C1的平面角，Rt△CMC1中，tan∠CMC1=，故④正確．

如下圖，由于異面直線AD與CB1成45°的二面角，過(guò)A1 作MN∥AD、PQ∥CB1，設(shè)MN與PQ確定平面α，∠PA1M=45°，過(guò)A1 在面α上方作射線A1H，

則滿足與MN、PQ 成70°的射線A1H有4條：滿足∠MA1H=∠PA1H=70°的有一條，滿足∠PA1H=∠NA1H=70°的有一條，滿足∠NA1H=∠QA1H=70°的有一條，

滿足QA1H=∠MA1H=70°的有一條．故滿足與MN、PQ 成70°的直線有4條，故過(guò)點(diǎn)A1與異面直線AD與CB1成70°角的直線有4條，故⑤不正確．

故答案為 ①②④．

考點(diǎn)：二面角的定義及求法；直線和平面平行的判定；直線和平面垂直的判定；異面直線的判定.