Question

（本小題滿(mǎn)分12分）如圖，四棱錐中，平面，，，，為的中點(diǎn).

（Ⅰ）證明：；

（Ⅱ）若二面角為，求直線(xiàn)與平面所成角的正切值.

（Ⅲ）若，求平面與平面PAB所成的銳二面角的余弦值

Answer 1

（Ⅰ）詳見(jiàn)解析；（Ⅱ）2；（Ⅲ）.

【解析】

試題分析：（Ⅰ）證明CE⊥AB，即證AB⊥CE，根據(jù)已知條件容易想到取AB中點(diǎn)F，連接EF，CF，便可得到AB⊥EF，AB⊥CF，所以AB⊥平面CEF，所以AB⊥CE；

（Ⅱ）根據(jù)二面角的平面角的定義，以及線(xiàn)面垂直的判定定理及性質(zhì)可知∠PDA是二面角P﹣CD﹣A的平面角，所以∠PDA=45°，所以PA=AD，并且由（Ⅰ）知∠CEF為CE與平面PAB所成的角，所以根據(jù)PA=AD即可求出tan∠CEF；

（Ⅲ）要求平面PCD與平面PAB所成的銳二面角的余弦值，需先找出這個(gè)二面角的平面角，先找平面PAB和平面PCD的交線(xiàn)，因?yàn)镻點(diǎn)是這兩個(gè)平面的公共點(diǎn)，所以交線(xiàn)過(guò)P點(diǎn)，并且發(fā)現(xiàn)，過(guò)P作平行于AB的直線(xiàn)PG，也平行于CD，所以PG是這兩個(gè)平面的交線(xiàn)．并且容易說(shuō)明PA⊥PG，PD⊥PG，所以∠DPA是平面PCD與平面PAB所成的銳二面角的平面角，因?yàn)镻A=kAB=kAD，

所以這樣即可求出cos∠DPA=．

試題解析：（Ⅰ）如下圖，取AB的中點(diǎn)F，連結(jié)EF，F(xiàn)C，

則.

因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015031106033109256817/SYS201503110603372959795823_DA/SYS201503110603372959795823_DA.005.png">平面，

所以平面.

因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015031106033109256817/SYS201503110603372959795823_DA/SYS201503110603372959795823_DA.008.png">平面，

所以.

因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015031106033109256817/SYS201503110603372959795823_DA/SYS201503110603372959795823_DA.010.png">，

所以.

因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015031106033109256817/SYS201503110603372959795823_DA/SYS201503110603372959795823_DA.012.png">平面，平面，

所以平面.

因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015031106033109256817/SYS201503110603372959795823_DA/SYS201503110603372959795823_DA.018.png">平面，

所以.

（Ⅱ）因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015031106033109256817/SYS201503110603372959795823_DA/SYS201503110603372959795823_DA.005.png">平面， 平面，

所以.

因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015031106033109256817/SYS201503110603372959795823_DA/SYS201503110603372959795823_DA.023.png">，

所以平面.

所以.

所以為二面角的平面角.

所以.

所以.

因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015031106033109256817/SYS201503110603372959795823_DA/SYS201503110603372959795823_DA.031.png">，

所以.

由（Ⅰ）知，為與平面所成的角.

因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015031106033109256817/SYS201503110603372959795823_DA/SYS201503110603372959795823_DA.036.png">，

所以直線(xiàn)與平面所成角的正切值為2.

（Ⅲ）過(guò)點(diǎn)作，

由平面，，

由平面，， ，

為所求銳二面角的平面角.

考點(diǎn)：線(xiàn)面垂直的性質(zhì)；線(xiàn)面垂直的判定定理；二面角、二面角的平面角及線(xiàn)面角的概念；以及求二面角的平面交點(diǎn)方法．