Question

如圖，在平面直角坐標系中，邊長為a_n的一組正三角形A_nB_n-1B_n的底邊B_n-1B_n依次排列在x軸上（B₀與坐標原點重合）．設(shè){a_n}是首項為a，公差為d的等差數(shù)列，若所有正三角形頂點A_n在第一象限，且均落在拋物線y²=2px（p＞0）上，則的值為

1. A.
   1
2. B.
   
3. C.
   
4. D.
   

Answer 1

A
分析：根據(jù)題意得，正三角形A₁B₀B₁的邊長為a，利用正三角形的性質(zhì)得出點A₁的坐標，又點A₁落在拋物線y²=2px（p＞0）上，則點A₁的坐標適合拋物線方程，得到p=a；又{a_n}是首項為a，公差為d的等差數(shù)列，同理得到點A₂的坐標且點A₂落在拋物線y²=2px（p＞0）上，則有a=d，從而求出的值．
解答：由題意得，正三角形A₁B₀B₁的邊長為a，
∴點A₁的坐標為（，），
又∵點A₁落在拋物線y²=2px（p＞0）上，則=2p×，
∴p=a，
又{a_n}是首項為a，公差為d的等差數(shù)列，a₂=a+d，
即正三角形A₂B₁B₂的邊長為a+d，
∴點A₂的坐標為（a+，），
又∵點A₂落在拋物線y²=2px（p＞0）上，則=2p（a+），
化簡得（a-d）（2a+d）=0，∵2a+d＞0，
∴a=d，
則的值為1．
故選A．
點評：本題主要考查數(shù)列與解析幾何綜合的知識點，本題是一道綜合性的習題，解答本題的關(guān)鍵是準確求出正三角形的坐標后代入拋物線方程得出變量之間的關(guān)系式．