Question

【題目】已知圓C1的圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)O，且恰好與直線相切．

(Ⅰ)求圓C1的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(Ⅱ)設(shè)點(diǎn)A為圓上一動(dòng)點(diǎn)，AN垂直于x軸于點(diǎn)N，若動(dòng)點(diǎn)Q滿足

(其中m為非零常數(shù))，試求動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡方程；

(Ⅲ)在(Ⅱ)的結(jié)論下，當(dāng)m＝時(shí)，得到動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡為曲線C，與l1垂直的直線l與曲線C交于B，D兩點(diǎn)，求△OBD面積的最大值．

Answer 1

【答案】(Ⅰ) 圓C1的方程為x2＋y2＝4;(Ⅱ) 點(diǎn)Q的軌跡方程為;(Ⅲ).

【解析】分析：（Ⅰ）由題意首先求得圓的半徑為r＝2，結(jié)合圓心坐標(biāo)可得圓C1的方程為x2＋y2＝4.

（Ⅱ）設(shè)動(dòng)點(diǎn)Q(x，y)，A(x0，y0)，由題意可得，則動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡方程為.

（Ⅲ）由題意結(jié)合(Ⅱ)的結(jié)論可知曲線C的方程為,聯(lián)立直線方程與橢圓方程可得7x2－8bx＋4b2－12＝0.結(jié)合韋達(dá)定理和弦長(zhǎng)公式可得面積函數(shù)為：，則△OBD面積的最大值為 .

詳解：（Ⅰ）設(shè)圓的半徑為r，圓心到直線l1的距離為d，

則d＝＝2.

因?yàn)?/span>r＝d＝2，圓心為坐標(biāo)原點(diǎn)O，

所以圓C1的方程為x2＋y2＝4.

（Ⅱ）設(shè)動(dòng)點(diǎn)Q(x，y)，A(x0，y0)，

∵AN⊥x軸于點(diǎn)N，∴N(x0,0)，

由題意知，(x，y)＝m(x0，y0)＋(1－m)·(x0,0)，

解得即

將點(diǎn)A代入圓C1的方程x2＋y2＝4，

得動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡方程為＋＝1.

（Ⅲ）當(dāng)m＝時(shí)，曲線C的方程為＋＝1，

設(shè)直線l的方程為y＝－x＋b，直線l與橢圓＋＝1交點(diǎn)B(x1，y1)，D(x2，y2)，

聯(lián)立方程得7x2－8bx＋4b2－12＝0.

因?yàn)?/span>Δ＝48(7－b2)>0，

解得b2<7，且x1＋x2＝，x1x2＝.

又因?yàn)辄c(diǎn)O到直線l的距離d1＝，

|BD|＝·＝.

所以S△OBD＝··

＝≤，

當(dāng)且僅當(dāng)b2＝7－b2，

即b2＝<7時(shí)取到最大值．

所以△OBD面積的最大值為 .