過點(diǎn)Q(2,4)引直線與圓x2+y2=1交于R,S兩點(diǎn),那么弦RS的中點(diǎn)P的軌跡為( )
A.圓(x+1)2+(y+2)2=5
B.圓x2+y2+2x+4y=0的一段弧
C.圓x2+y2-2x-4y=0的一段弧
D.圓(x-1)2+(y-2)2=5
【答案】
分析:判斷Q與圓的位置關(guān)系,畫出圖象,轉(zhuǎn)化為圓的方程的一部分得到選項(xiàng).
解答:解:因?yàn)辄c(diǎn)Q(2,4)在圓x
2+y
2=1的外部,如圖:
所以過點(diǎn)Q(2,4)引直線與圓x
2+y
2=1交于R,S兩點(diǎn),
斜率存在,是一段區(qū)間,因?yàn)橄襌S的中點(diǎn)P,所以O(shè)P⊥RS,
即△OPQ是直角三角形,OQ是定值,OQ=
=
,
OQ的中點(diǎn)為(1,2),圓的半徑為:
.
所以所求的軌跡方程為:(x-1)
2+(y-2)
2=
=5,
即x
2+y
2-2x-4y=0.因?yàn)樾甭蚀嬖,是一段區(qū)間,
所求軌跡是圓的一部分.
故選C.
點(diǎn)評(píng):本題考查曲線軌跡方程的求法,考查轉(zhuǎn)化思想計(jì)算能力,注意圖象的應(yīng)用.