Question

若2x+y≥1，u=y ²-2y+x ²+6x，則u的最小值等于（　　）

• A、-

  7

  5

• B、-

  14

  5

• C、

  7

  5

• D、

  14

  5

Answer 1

考點(diǎn)：基本不等式

專(zhuān)題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：如圖所示，u=y ²-2y+x ²+6x，化為u+10=（x+3）²+（y-1）²．表示點(diǎn)C（-3，1）到可行域（陰影部分）2x+y≥1的距離的平方，因此當(dāng)圓（x+3）²+（y-1）²=u+10＞0和直線2x+y=1相切時(shí)u取得最小值．利用點(diǎn)到直線的距離公式求出即可．

解答： 解：如圖所示，
u=y ²-2y+x ²+6x，
化為u+10=（x+3）²+（y-1）²．
表示點(diǎn)C（-3，1）到可行域（陰影部分）2x+y≥1的距離的平方，
因此當(dāng)圓（x+3）²+（y-1）²=u+10＞0和直線2x+y=1相切時(shí)u取得最小值．
由u+10=(

|-6+1-1|

5

)2=

36

5

，解得u=-

14

5

．
∴u的最小值等于-

14

5

．
故選：B．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了可行域、直線與圓的相切的位置關(guān)系、點(diǎn)到直線的距離公式，考查了數(shù)形結(jié)合的思想方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．