Question

已知函數(shù)f（x）=x²+bx+2，g（x）=|x²-1|，x∈R．
（1）若函數(shù)f（x）滿足f（3+x）=f（-x），求使不等式f（x）≥g（x）成立的x的取值集合；
（2）若函數(shù)h（x）=f（x）+g（x）+2在（0，2）上有兩個不同的零點x₁，x₂求實數(shù)b的取值范圍．

Answer 1

考點：函數(shù)恒成立問題,二次函數(shù)的性質(zhì),函數(shù)的零點與方程根的關(guān)系

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)f（3+x）=f（-x），可得二次函數(shù)的對稱軸為x=

3

2

，即可求得b的值，代入f（x），將g（x）分類討論去掉絕對值，再分類討論，根據(jù)不同的解析式列出不等式求解，即可得到答案；
（2）將h（x）的解析式表示出來，分b=0和b≠0分類研究，當(dāng)b=0時，不合題意，當(dāng)b≠0時，根據(jù)h（x）的單調(diào)性，確定ϕ（x）在（0，1）上至多一個零點，不妨設(shè)0＜x₁＜x₂＜2，對0＜x₁＜1，1≤x₂＜2時，及1≤x₁＜x₂＜2時分別進行求解，即可得到實數(shù)b的取值范圍．

解答： 解：（1）∵f（3+x）=f（-x）
∴函數(shù)f （x）的圖象關(guān)于直線x=

3

2

對稱，
∵f（x）=x²+bx+2，
∴-

b

2

=

3

2

，解得b=-3，
∴f（x）=x²-3x+2，
∵g（x）=|x²-1|，
∴g(x)=

x2-1，  x≤-1或x≥1 1-x2，  -1＜x＜1

，
①當(dāng)x≤-1，或x≥1時，
∵f（x）≥g（x），
∴x²-3x+2≥x²-1，解得x≤1，
∴此時x的范圍為x≤-1，或x=1；
②當(dāng)-1＜x＜1時，
∵f（x）≥g（x），
∴x²-3x+2≥1-x²，解得x≤

1

2

或x≥1，
∴此時x的范圍為-1＜x≤

1

2

．
∴綜合①②可得，使不等式f（x）≥g（x）成立的x的取值集合為{x|x≤

1

2

或x=1}．
（2）∵h(yuǎn)（x）=f（x）+g（x）+2，且f（x）=x²+bx+2，g(x)=

x2-1，  x≤-1或x≥1 1-x2，  -1＜x＜1

，
∴h(x)=

2x2+bx+3，x≤-1或x≥1 bx+5，           -1＜x＜1

，
若b=0時，h(x)=

2x2+3，x≤-1或x≥1 5，            -1＜x＜1.

，顯然h（x）＞0恒成立，不滿足條件；
若b≠0時，函數(shù)ϕ（x）=bx+5在（0，1）上是單調(diào)函數(shù)，即ϕ（x）在（0，1）上至多一個零點，不妨設(shè)0＜x₁＜x₂＜2，
①當(dāng)0＜x₁＜1，1≤x₂＜2時，則ϕ（0）ϕ（1）＜0，且h（1）h（2）≤0，
∴

b+5＜0 (b+5)(2b+11)≤0

，解得-

11

2

≤b＜-5；
經(jīng)檢驗b=-

11

2

時，h（x）的零點為

10

11

，2（舍去），
∴-

11

2

＜b＜-5．
②當(dāng)1≤x₁＜x₂＜2時，
∵ϕ（x）在（0，1）上至多一個零點，
∴

h(1)≥1 h(2)＞0 1＜- b 4 ＜2 b2-24＞0

，即

b+5≥0 2b+11＞0 -8＜b＜-4 b＜-2 6 或b＞2 6

解得-5≤b＜-2

6

．
∴綜上所述，b的取值范圍為-

11

2

＜b＜-2

6

．

點評：本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，對于二次函數(shù)要注意數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用，注意抓住二次函數(shù)的開口方向，對稱軸，以及判別式的考慮．考查了函數(shù)的零點與方程根的關(guān)系．函數(shù)的零點等價于對應(yīng)方程的根，等價于函數(shù)的圖象與x軸交點的橫坐標(biāo)，解題時要注意根據(jù)題意合理的選擇轉(zhuǎn)化．屬于中檔題．