Question

已知數(shù)列{a_n}的各項(xiàng)均是正數(shù)，其前n項(xiàng)和為S_n，滿足（ p-1）S_n=p²-a_n，其中p為正常數(shù)，且p≠1．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)b_n=（n∈N^*），數(shù)列{b_nb_n+2}的前n項(xiàng)和為T_n＜．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用s_n+1-s_n=a_n+1求出a_n的遞推公式，進(jìn)而求解．
（2）將（1）中的結(jié)論代入b_n=，求出bn，進(jìn)而求出b_nb_n+2，利用列項(xiàng)法求出T_n，即可證明不等式．
解答：解：（Ⅰ）由題設(shè)知（p-1）a₁=p²-a₁，解得a₁=p．（2分）
∵（ p-1）S_n=p²-a_n，
∴（ p-1）S_n+1=p²-a_n+1，
兩式作差得（p-1）（S_n+1-S_n）=a_n-a_n+1．
∴，（4分）
∴數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為p，公比為的等比數(shù)列．
∴．（6分）
（Ⅱ）∵（8分），
∴（10分），
∴T_n=b₁b₃+b₂b₄+b₃b₅++b_nb_n+2
=
=＜（12分）．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查數(shù)列知識(shí)的綜合運(yùn)用以及證明不等式的能力，難度一般．