【題目】某媒體為了解某地區(qū)大學(xué)生晚上放學(xué)后使用手機(jī)上網(wǎng)情況,隨機(jī)抽取了100名大學(xué)生進(jìn)行調(diào)查.如圖是根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制的學(xué)生每晚使用手機(jī)上網(wǎng)平均所用時(shí)間的頻率分布直方圖.將時(shí)間不低于40分鐘的學(xué)生稱(chēng)為“手機(jī)迷”.
(1)樣本中“手機(jī)迷”有多少人?
(2)根據(jù)已知條件完成下面的2×2列聯(lián)表,并據(jù)此資料判斷是否有95%的把握認(rèn)為“手機(jī)迷”與性別有關(guān)?
(3)將上述調(diào)查所得到的頻率視為概率.現(xiàn)在從該地區(qū)大量大學(xué) 生中,采用隨機(jī)抽樣方法每次抽取1名大學(xué)生,抽取3次,經(jīng)調(diào)查一名“手機(jī)迷”比“非手機(jī)迷”每月的話(huà)費(fèi)平均多40元,記被抽取的3名大學(xué)生中的“手機(jī)迷”人數(shù)為X,且設(shè)3人每月的總話(huà)費(fèi)比“非手機(jī)迷”共多出Y元,若每次抽取的結(jié)果是相互獨(dú)立的,求X的分布列和Y的期望EY
【答案】
(1)解:由頻率分布直方圖可知,
在抽取的100人中,“手機(jī)迷”有:
100×(0.2+0.05)=25人
(2)解:從而2×2列聯(lián)表如下:
非手機(jī)迷 | 手機(jī)迷 | 合計(jì) | |
男 | 30 | 15 | 45 |
女 | 45 | 10 | 55 |
合計(jì) | 75 | 25 | 100 |
假設(shè)H0:“手機(jī)迷”與性別沒(méi)有關(guān)系.
將2×2列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)代入公式,計(jì)算得:
.
當(dāng)H0成立時(shí),P(K2≥3.841)≈0.05.
∴3.030<3.841,所以沒(méi)有95%把握認(rèn)為“手機(jī)迷”與性別有關(guān).
(3)解:由頻率分布直方圖知,抽到“手機(jī)迷”的頻率為0.25,
將頻率視為概率,即從大學(xué)生中抽取一名“手機(jī)迷”的概率為 .
由題意知,X~B(3, ).且Y=40X
∴X的分布列為:
X | 0 | 1 | 2 | 3 |
P |
,
【解析】(1)由頻率分布直方圖能求出在抽取的100人中,“手機(jī)迷”的人數(shù).(2)求出2×2列聯(lián)表,假設(shè)H0:“手機(jī)迷”與性別沒(méi)有關(guān)系,求出K2= <3.841,從而得到?jīng)]有95%把握認(rèn)為“手機(jī)迷”與性別有關(guān).(3)由頻率分布直方圖知,抽到“手機(jī)迷”的頻率為0.25,將頻率視為概率,即從大學(xué)生中抽取一名“手機(jī)迷”的概率為 .由題意知,X~B(3, ).且Y=40X,由此能求出X的分布列和Y的期望EY.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(Ⅰ)若曲線(xiàn)在處的切線(xiàn)與直線(xiàn)垂直,求的值;
(Ⅱ)當(dāng)時(shí),求證:存在實(shí)數(shù)使.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCDA1B1C1D1中,E為棱BC的中點(diǎn),點(diǎn)F是棱CD上的動(dòng)點(diǎn),試確定點(diǎn)F的位置,使得D1E⊥平面AB1F.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】為調(diào)查高中生的數(shù)學(xué)成績(jī)與學(xué)生自主學(xué)習(xí)時(shí)間之間的相關(guān)關(guān)系,長(zhǎng)郡中學(xué)數(shù)學(xué)教師對(duì)新入學(xué)的45名學(xué)生進(jìn)行了跟蹤調(diào)查,其中每周自主做數(shù)學(xué)題的時(shí)間不少于15小時(shí)的有19人,余下的人中,在高三模擬考試中數(shù)學(xué)平均成績(jī)不足120分的占,統(tǒng)計(jì)成績(jī)后,得到如下的列聯(lián)表:
分?jǐn)?shù)大于等于120分 | 分?jǐn)?shù)不足120分 | 合計(jì) | |
周做題時(shí)間不少于15小時(shí) | 4 | 19 | |
周做題時(shí)間不足15小時(shí) | |||
合計(jì) | 45 |
(1)請(qǐng)完成上面的列聯(lián)表,并判斷能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.01的前提下認(rèn)為“高中生的數(shù)學(xué)成績(jī)與學(xué)生自主學(xué)習(xí)時(shí)間有關(guān)”;
(2)(ⅰ)按照分層抽樣的方法,在上述樣本中,從分?jǐn)?shù)大于等于120分和分?jǐn)?shù)不足120分兩組學(xué)生中抽取9名學(xué)生,設(shè)抽到的不足120分且周做題時(shí)間不足15小時(shí)的人數(shù)是,求的分布列(概率用組合數(shù)算式表示);
(ⅱ)若將頻率視為概率,從全校大于等于120分的學(xué)生中隨機(jī)抽取20人,求這些人中周做題時(shí)間不少于15小時(shí)的人數(shù)的期望和方差.
附:
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某中學(xué)數(shù)學(xué)老師分別用兩種不同教學(xué)方式對(duì)入學(xué)數(shù)學(xué)平均分和優(yōu)秀率都相同的甲、乙兩個(gè)高一新班(人數(shù)均為 人)進(jìn)行教學(xué)(兩班的學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)勤奮程度和自覺(jué)性一致),數(shù)學(xué)期終考試成績(jī)莖葉圖如下:
(1)現(xiàn)從乙班數(shù)學(xué)成績(jī)不低于 分的同學(xué)中隨機(jī)抽取兩名同學(xué),求至少有一名成績(jī)?yōu)?/span> 分的同學(xué)被抽中的概率;
(2)學(xué)校規(guī)定:成績(jī)不低于 分的優(yōu)秀,請(qǐng)?zhí)顚?xiě)下面的聯(lián)表,并判斷有多大把握認(rèn)為“成績(jī)優(yōu)秀與教學(xué)方式有關(guān)”.
附:參考公式及數(shù)據(jù)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,正三棱柱的所有棱長(zhǎng)均為2, , 分別為和的中點(diǎn).
(1)證明: 平面;
(2)求點(diǎn)到平面的距離.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】若函數(shù)滿(mǎn)足:對(duì)于任意正數(shù),都有,且,則稱(chēng)函數(shù)為“L函數(shù)”.
(1)試判斷函數(shù)與是否是“L函數(shù)”;
(2)若函數(shù)為“L函數(shù)”,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(3)若函數(shù)為“L函數(shù)”,且,求證:對(duì)任意,都有.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在長(zhǎng)方體ABCD﹣A1B1C1D1中,AA1=AD=1,E為CD中點(diǎn).
(1)求證:C1D∥平面AB1E;
(2)求證:BC1⊥B1E;
(3)若AB= ,求二面角E﹣AB1﹣B的正切值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】【2017安徽淮南二!侩S著社會(huì)發(fā)展,淮北市在一天的上下班時(shí)段也出現(xiàn)了堵車(chē)嚴(yán)重的現(xiàn)象.交通指數(shù)是交通擁堵指數(shù)的簡(jiǎn)稱(chēng),是綜合反映道路網(wǎng)暢通或擁堵的概念.記交通指數(shù)為T(mén),其范圍為[0,10],分別有5個(gè)級(jí)別:T∈[0,2)暢通;T∈[2,4)基本暢通;T∈[4,6)輕度擁堵;T∈[6,8)中度擁堵;T∈[8,10]嚴(yán)重?fù)矶拢绺叻鍟r(shí)段(T≥3 ),從淮北市交通指揮中心隨機(jī)選取了一至四馬路之間50個(gè)交通路段,依據(jù)交通指數(shù)數(shù)據(jù)繪制的直方圖如圖所示:
(I)據(jù)此直方圖估算交通指數(shù)T∈[4,8)時(shí)的中位數(shù)和平均數(shù);
(II)據(jù)此直方圖求出早高峰一至四馬路之間的3個(gè)路段至少有2個(gè)嚴(yán)重?fù)矶碌母怕适嵌嗌伲?/span>
(III)某人上班路上所用時(shí)間若暢通時(shí)為20分鐘,基本暢通為30分鐘,輕度擁堵為35分鐘,中度擁堵為45分鐘,嚴(yán)重?fù)矶聻?0分鐘,求此人用時(shí)間的數(shù)學(xué)期望.
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