Question

如圖，四棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，頂點(diǎn)在底面的射影是底面的中心，側(cè)棱長(zhǎng)為2，G是PB的中點(diǎn)．
（1）證明：PD∥面AGC；
（2）求AG和平面PBD所成的角的正切值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面所成的角,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）設(shè)AC，BD交于點(diǎn)O，連結(jié)OG，由已知得OG∥PD，由此能證明PD∥面AGC．
（2）連結(jié)OP，以O(shè)為原點(diǎn)，OA為x軸，OB為y軸，OP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出AG和平面PBD所成的角的正切值．

解答： （1）證明：設(shè)AC，BD交于點(diǎn)O，連結(jié)OG，
∵ABCD是正方形，∴O是BD的中點(diǎn)，
∵G是PB的中點(diǎn)，∴OG∥PD，
∵OG?面AGC，PD?平面AGC，
∴PD∥面AGC．
（2）解：連結(jié)OP，∵四棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，
頂點(diǎn)在底面的射影是底面的中心，側(cè)棱長(zhǎng)為2，G是PB的中點(diǎn)，
∴以O(shè)為原點(diǎn)，OA為x軸，OB為y軸，OP為z軸，
建立空間直角坐標(biāo)系，
P（0，0，

2

），B（0，

2

，0），G（0，

2

2

，

2

2

），
A（

2

，0，0），D（0，-

2

，0），

AG

=（-

2

，

2

2

，

2

2

），平面PBD的法向量

n

=（1，0，0），
設(shè)AG和平面PBD所成的角為θ，
sinθ=|cos＜

AG

，

n

＞|=|

- 2

2+ 1 2 + 1 2

|=

6

3

，
∴tanθ=

2

．
∴AG和平面PBD所成的角的正切值為

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與平面平行的證明，考查直線與平面所成角的正切值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．