如圖,四棱錐P-ABCD的底面ABCD是直角梯形,∠DAB=∠ABC=90°,PA⊥底面ABCD,PA=AB=AD=2,BC=1,E為PD的中點(diǎn).
(1)求證:CE∥平面PAB;
(2)求PA與平面ACE所成角的正弦值的大小;
(3)求二面角E-AC-D的余弦值的大小.
分析:(1)要證CE∥平面PAB,只要證明CE平行于平面PAB內(nèi)的一條直線(xiàn)即可,由E為PD的中點(diǎn),可聯(lián)想找PA的中點(diǎn)F,連結(jié)EF、BF后,證明BCEF是平行四邊形即可證得答案;
(2)分別以AB,AD,AP所在直線(xiàn)為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,求出平面AEC的一個(gè)法向量,利用向量
AP
與其法向量所成角的余弦值求解PA與平面ACE所成角的正弦值的大小;
(3)分別求出二面角E-AC-D的兩個(gè)半平面所在平面的法向量,利用法向量夾角的大小求解二面角E-AC-D的余弦值的大。
解答:(1)證明:如圖,
取PA的中點(diǎn)F,連結(jié)FE、FB,則FE∥BC,且FE=
1
2
AD=BC,
∴BCEF是平行四邊形,∴CE∥BF,而B(niǎo)F?平面PAB,∴CE∥平面PAB.
(2)解:分別以AB,AD,AP所在直線(xiàn)為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,
由PA=AB=AD=2,BC=1,E為PD的中點(diǎn),得
A(0,0,0),C(2,1,0),D(0,2,0),E(0,1,1),P(0,0,2).
AC
=(2,1,0),
AE
=(0,1,1)
AP
=(0,0,2)

設(shè)平面EAC的一個(gè)法向量為
m
=(x,y,z)
,
m
AC
=0
m
AE
=0
,得
2x+y=0
y+z=0
,取x=1,得y=-2,z=2.
m
=(1,-2,2)

設(shè)PA與平面ACE所成角為α,
則sinα=|
m
AP
|
m
|•|
AP
|
|=|
2×2
3×2
|=
2
3

∴PA與平面ACE所成角的正弦值為arcsin
2
3
;
(3)解:平面DAC的一個(gè)法向量為
n
=(0,0,1)
,
又平面EAC的一個(gè)法向量為
m
=(1,-2,2)

∴cos
m
,
n
=
m
n
|
m
|•|
n
|
=
2
1×3
=
2
3

∴二面角E-AC-D的余弦值為arccos
2
3
點(diǎn)評(píng):本題考查了直線(xiàn)與平面平行的判定,考查了利用空間向量求線(xiàn)面角和面面角,解答的關(guān)鍵是建立正確的空間右手系,屬中檔題.
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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖,四棱錐P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AB⊥AD,AC⊥CD,∠ABC=60°,PA=AB=BC,
E是PC的中點(diǎn).求證:
(Ⅰ)CD⊥AE;
(Ⅱ)PD⊥平面ABE.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖,四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是直角梯形,AB∥CD,∠DAB=60°,AB=AD=2CD=2,側(cè)面PAD⊥底面ABCD,且△PAD為等腰直角三角形,∠APD=90°,M為AP的中點(diǎn).
(1)求證:AD⊥PB;
(2)求三棱錐P-MBD的體積.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖,四棱錐P-ABCD的底面ABCD是矩形,AB=2,BC=
2
,且側(cè)面PAB是正三角形,平面PAB⊥平面ABCD.
(1)求證:PD⊥AC;
(2)在棱PA上是否存在一點(diǎn)E,使得二面角E-BD-A的大小為45°,若存在,試求
AE
AP
的值,若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖,四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為矩形,PA⊥底面ABCD,且PA=AB=1,AD=
3
,點(diǎn)F是PB中點(diǎn).
(Ⅰ)若E為BC中點(diǎn),證明:EF∥平面PAC;
(Ⅱ)若E是BC邊上任一點(diǎn),證明:PE⊥AF;
(Ⅲ)若BE=
3
3
,求直線(xiàn)PA與平面PDE所成角的正弦值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖,四棱錐P-ABCD,PA⊥平面ABCD,ABCD是直角梯形,DA⊥AB,CB⊥AB,PA=2AD=BC=2,AB=2
2
,設(shè)PC與AD的夾角為θ.
(1)求點(diǎn)A到平面PBD的距離;
(2)求θ的大;當(dāng)平面ABCD內(nèi)有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)Q始終滿(mǎn)足PQ與AD的夾角為θ,求動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡方程.

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