Question

12．已知A、B、C為函數y=log_ax（0＜a＜1）的圖象上的三點，它們的橫坐標分別是t，t+2，t+4（t＞1）．
（1）設△ABC的面積為S，求S=f（t）；
（2）求函數S=f（t）的值域．

Answer 1

分析 （1）由題意畫出圖象并求出A、B、C點的坐標，過A，B，C分別作AE、BF、CN垂直于x軸，垂足為E、F、N，
由圖象、梯形的面積公式表示出△ABC的面積S_△ABC，并利用對數的運算性質化簡；
（2）由t＞1和配方法化簡t（t+4）并求出它的范圍，再求出$\frac{1}{t（t+4）}$的范圍和（t+2）²，代入S_△ABC利用分離常數法化簡，由a的范圍、對數函數的性質求出函數S=f（t）的值域．

解答 解：（1）如圖：
A、B、C為函數y=log_ax（0＜a＜1）的圖象上的三點，
由題意得它們的橫坐標分別是t，t+2，t+4，
∴A（t，log_at），B（t+2，log_a（t+2）），C（t+4，log_a（t+4）），
過A，B，C分別作AE、BF、CN垂直于x軸，垂足為E、F、N，
由圖象可得，△ABC的面積S_△ABC
=S_梯形ABFE+S_梯形BCNF-S_梯形ACNE．
∵${S_{ABFE}}=-\frac{1}{2}[{{{log}_a}t+{{log}_a}（t+2）}]•[{（t+2）-t}]=-{log_a}[{t（t+2）}]$，${S_{BCNF}}=-\frac{1}{2}[{{{log}_a}（t+4）+{{log}_a}（t+2）}]•[{（t+4）-（t+2）}]=-{log_a}[{（t+4）（t+2）}]$，${S}_{ACNE}=-\frac{1}{2}[{log}_{a}t+{log}_{a}（t+4）]•[（t+4）-t]=-2lo{g}_{a}[t（t+4）]$，
∴S=f（t）=S_梯形ABFE+S_梯形BCNF-S_梯形ACNE
=-log_a[t（t+2）]-log_a[（t+4）（t+2）]+2log_a[t（t+4）]
=$-lo{g}_{a}\frac{{（t+2）}^{2}}{t（t+4）}（t＞1）$
（2）由于當t＞1時，t（t+4）=（t+2）²-4＞5，
則$0＜\frac{1}{t（t+4）}＜\frac{1}{5}$，且（t+2）²=t（t+4）+4，
所以$\frac{{（t+2）}^{2}}{t（t+4）}$=$\frac{t（t+4）+4}{t（t+4）}$=1+$\frac{4}{t（t+4）}$，
由$0＜\frac{1}{t（t+4）}＜\frac{1}{5}$得，$0＜\frac{4}{t（t+4）}＜\frac{4}{5}$，
則$1＜1+\frac{1}{t（t+4）}＜\frac{9}{5}$，所以$1＜\frac{{{{（t+2）}^2}}}{t（t+4）}＜\frac{9}{5}$，
因為0＜a＜1，所以$lo{g}_{a}^{\frac{9}{5}}＜lo{g}_{a}\frac{{（t+2）}^{2}}{t（t+4）}＜0$，
即$0＜-lo{g}_{a}\frac{{（t+2）}^{2}}{t（t+4）}＜-lo{g}_{a}^{\frac{9}{5}}$，
所以S=f（t）的值域為$（0，-{log_a}\frac{9}{5}）$．

點評 本題考查了對數函數的圖象以及性質，對數的運算性質，圖象的面積表示，以及分離常數法、整體思想，數形結合思想，屬于中檔題．