Question

2．已知函數(shù)f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜$\frac{π}{2}$）的圖象經(jīng)過點（0，$\frac{1}{2}$），對任意的x都有f（x₁）≤f（x）≤f（x₂），且|x₂-x₁|的最小值為$\frac{π}{2}$．
（1）求f（$\frac{π}{12}$）的值；
（2）求函數(shù)f（x）在[-$\frac{π}{2}$，$\frac{3π}{2}$]上的單調(diào)遞減區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)已知，求出函數(shù)的周期，進(jìn)而可得ω=2，再由函數(shù)f（x）=sin（2x+φ）（0＜φ＜$\frac{π}{2}$）的圖象經(jīng)過點（0，$\frac{1}{2}$），求出φ=$\frac{π}{6}$，可得函數(shù)解析式，代入計算可得求f（$\frac{π}{12}$）的值；
（2）根據(jù)正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，先求出函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為[$\frac{π}{6}$+kπ，$\frac{2π}{3}$+kπ]，k∈Z，結(jié)合x∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{3π}{2}$]，可得答案．

解答 解：（1）∵對任意的x都有f（x₁）≤f（x）≤f（x_2），且|x₂-x₁|的最小值為$\frac{π}{2}$，
∴$\frac{T}{2}$=$\frac{π}{2}$，即T=π，
又∵ω＞0，
∴ω=2，
又∵函數(shù)f（x）=sin（2x+φ）（0＜φ＜$\frac{π}{2}$）的圖象經(jīng)過點（0，$\frac{1}{2}$），
∴sinφ=$\frac{1}{2}$，
解得：φ=$\frac{π}{6}$，
∴f（x）=sin（2x+$\frac{π}{6}$），
∴f（$\frac{π}{12}$）=sin（2×$\frac{π}{12}$+$\frac{π}{6}$）=sin$\frac{π}{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
（2）由2x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{2}$+2kπ，$\frac{3π}{2}$+2kπ]，k∈Z得：x∈[$\frac{π}{6}$+kπ，$\frac{2π}{3}$+2kπ]，k∈Z，
故函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為[$\frac{π}{6}$+kπ，$\frac{2π}{3}$+kπ]，k∈Z，
又∵x∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{3π}{2}$]，
∴函數(shù)f（x）在[-$\frac{π}{2}$，$\frac{3π}{2}$]上的單調(diào)遞減區(qū)間為[-$\frac{π}{2}$，-$\frac{π}{3}$]，[$\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}$]，[$\frac{7π}{6}$，$\frac{3π}{2}$]．

點評 本題考查的知識點是正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，是解答的關(guān)鍵．