Question

橢圓的中心在原點O，短軸長為2

3

，左焦點為F（-c，0）（c＞0），相應的準線l與x軸交于點A，且點F分

AO

的比為3，過點A的直線與橢圓相交于P、Q兩點．
（1）求橢圓的方程；
（2）若PF⊥QF，求直線PQ的方程．

Answer 1

分析：（1）設橢圓的方程為 設

x2

a2

+

y2

b2

=1，，由已知得到

a2

c

-c=3c，又c²+（

3

）²=a²，解得 a，c，最后寫出橢圓的方程和離心率．
（2）設直線PQ的方程為y=k（x+4），將直線的方程代入橢圓的方程，消去y得到關于x的一元二次方程，再結(jié)合根系數(shù)的關系利用向量垂直的坐標關系公式即可求得k值，從而解決問題．

解答：解：（1）設

x2

a2

+

y2

b2

=1，則c²+（

3

）²=a²，準線l：x=

a2

c

，
由點F分

AO

的比為3，得

a2

c

-c=3c，
解得a²=4，c=1，得橢圓方程為：

x2

4

+

y2

3

=1．（5分）
（2）設PQ：y=k（x+4），P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），F(xiàn)（-1，0）．
∵PF⊥QF，∴（x₁+1）（x₂+1）+y₁y₂=0，
即（x₁+1）（x₂+1）+k²（x₁+4）（x₂+4）=0，
（1+k²）x₁x₂+（1+4k²）（x₁+x₂）+（1+16k²）=0（4分）
聯(lián)立

y=k(x+4) 3x2+4y2=12

，消去y得（3+4k²）x²+32k²x+64k²-12=0
∴x₁x₂=

64k2-12

3+4k2

，x₁+x₂=-

32k2

3+4k2

（4分）
代入化簡得8k²=1，∴k=±

2

4

．
∴直線PQ的方程為y=

2

4

（x+4）或y=-

2

4

（x+4）．（2分）

點評：本題主要考查橢圓的標準方程和幾何性質(zhì)，直線方程，平面向量的計算，曲線和方程的關系等解析幾何的基本思想方法和綜合解題能力．解答的關鍵是利用方程思想利用設而不求的方法求出k值．