Question

【題目】點(diǎn)是拋物線內(nèi)一點(diǎn)，是拋物線的焦點(diǎn)，是拋物線上任意一點(diǎn)，且已知的最小值為2.

（1）求拋物線的方程；

（2）拋物線上一點(diǎn)處的切線與斜率為常數(shù)的動(dòng)直線相交于，且直線與拋物線相交于、兩點(diǎn).問(wèn)是否有常數(shù)使？

Answer 1

【答案】（1）（2）存在常數(shù)，使得使

【解析】

（1）由拋物線的性質(zhì)，到焦點(diǎn)的距離等于到準(zhǔn)線的距離，且三點(diǎn)共線時(shí)的最小值為2可得的值.進(jìn)而求出拋物線的方程.

（2）由（1）可得的坐標(biāo)，求導(dǎo)可得在處的切線方程，設(shè)動(dòng)準(zhǔn)線的方程與在處的切線方程聯(lián)立求出交點(diǎn)的坐標(biāo)，直線與拋物線聯(lián)立求出兩根之和及兩根之積，求出和的表達(dá)式，進(jìn)而求出，假設(shè)存在滿足條件，因?yàn)?/span>為常數(shù)，所以可得的值.

（1）拋物線的準(zhǔn)線方程為：，因?yàn)?/span>點(diǎn)在拋物線內(nèi)部，過(guò)作垂直于準(zhǔn)線交于，拋物線于，

由拋物線的性質(zhì)可得，當(dāng)且僅當(dāng)，三點(diǎn)共線時(shí)最小，

即，即，解得：，

所以拋物線的方程為：；

（2）有題意在拋物線上，所以，所以，

即，

因?yàn)?/span>，所以，

所以在處的斜率為：，

所以在處的切線方程為：，即，

設(shè)直線的方程：，且，

聯(lián)立與切線方程：，解得：，即，

設(shè)，假設(shè)存在值滿足條件，

聯(lián)立直線與拋物線的方程：，整理可得：，即，

，

，

，

同理可得：，

所以，

所以，所以，

所以存在常數(shù)，使得使.