Question

【題目】點是拋物線內(nèi)一點，是拋物線的焦點，是拋物線上任意一點，且已知的最小值為2.

（1）求拋物線的方程；

（2）拋物線上一點處的切線與斜率為常數(shù)的動直線相交于，且直線與拋物線相交于、兩點.問是否有常數(shù)使？

Answer 1

【答案】（1）（2）存在常數(shù)，使得使

【解析】

（1）由拋物線的性質(zhì)，到焦點的距離等于到準(zhǔn)線的距離，且三點共線時的最小值為2可得的值.進而求出拋物線的方程.

（2）由（1）可得的坐標(biāo)，求導(dǎo)可得在處的切線方程，設(shè)動準(zhǔn)線的方程與在處的切線方程聯(lián)立求出交點的坐標(biāo)，直線與拋物線聯(lián)立求出兩根之和及兩根之積，求出和的表達式，進而求出，假設(shè)存在滿足條件，因為為常數(shù)，所以可得的值.

（1）拋物線的準(zhǔn)線方程為：，因為點在拋物線內(nèi)部，過作垂直于準(zhǔn)線交于，拋物線于，

由拋物線的性質(zhì)可得，當(dāng)且僅當(dāng)，三點共線時最小，

即，即，解得：，

所以拋物線的方程為：；

（2）有題意在拋物線上，所以，所以，

即，

因為，所以，

所以在處的斜率為：，

所以在處的切線方程為：，即，

設(shè)直線的方程：，且，

聯(lián)立與切線方程：，解得：，即，

設(shè)，假設(shè)存在值滿足條件，

聯(lián)立直線與拋物線的方程：，整理可得：，即，

，

，

，

同理可得：，

所以，

所以，所以，

所以存在常數(shù)，使得使.