Question

19．已知函數(shù)$f（x）=\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{4}x+1，\;x≤1\\ lnx，x＞1\end{array}\right.$，
①方程f（x）=-x有1個(gè)根；
②若方程f（x）=ax恰有兩個(gè)不同實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是$[\frac{1}{4}，\frac{1}{e}）$．

Answer 1

分析 ①畫出函數(shù)的圖形，即可得到解的個(gè)數(shù)；
②由題意，方程f（x）=ax恰有兩個(gè)不同實(shí)數(shù)根，等價(jià)于y=f（x）與y=ax有2個(gè)交點(diǎn)，又a表示直線y=ax的斜率，求出a的取值范圍．

解答 解：①函數(shù)$f（x）=\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{4}x+1，\;x≤1\\ lnx，x＞1\end{array}\right.$，
與y=-x的圖象如圖：
可知方程f（x）=-x有1個(gè)根．
②函數(shù)$f（x）=\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{4}x+1，\;x≤1\\ lnx，x＞1\end{array}\right.$，
∵方程f（x）=ax恰有兩個(gè)不同實(shí)數(shù)根，
∴y=f（x）與y=ax有2個(gè)交點(diǎn)，
又∵a表示直線y=ax的斜率，
∴y′=$\frac{1}{x}$，
設(shè)切點(diǎn)為（x₀，y₀），k=$\frac{1}{{x}_{0}}$，
∴切線方程為y-y₀=$\frac{1}{{x}_{0}}$（x-x₀），
而切線過(guò)原點(diǎn)，∴y₀=1，x₀=e，k=$\frac{1}{e}$，
∴直線l₁的斜率為$\frac{1}{e}$，
又∵直線l₂與y=$\frac{1}{4}$x+1平行，
∴直線l₂的斜率為$\frac{1}{4}$，
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是[$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{e}$）
故答案為：①1，②$[\frac{1}{4}，\frac{1}{e}）$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問(wèn)題，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考查函數(shù)與方程的關(guān)系，是易錯(cuò)題．