Question

在四棱錐P-ABCD中，AB∥CD，AB=

1

2

DC=1，BP=BC=

2

，PC=2，AB⊥平面PBC，F(xiàn)為PC中點．
（Ⅰ）求證：BF∥平面PAD；
（Ⅱ）求證：平面ADP⊥平面PDC；
（Ⅲ）求V_P-ABCD．

Answer 1

考點：平面與平面垂直的判定,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關系與距離

分析：（Ⅰ）取PD的中點為E，連接EF，由已知條件推導出四邊形ABFE為平行四邊形，由此能證明BF∥平面PAD．
（Ⅱ）由等腰三角形性質(zhì)得BF⊥PC，由線面垂直得CD⊥平面PBC，從而得到BF⊥平面PDC，由此能證明平面ADP⊥平面PDC．
（Ⅲ）由勾股定理得PB⊥BC，所以PB是四棱錐的高，由此能求出V_P-ABCD．

解答： （Ⅰ）證明：取PD的中點為E，連接EF，
∵F為PC中點∴EF為△PDC的中位線，
即EF∥DC且EF=

1

2

DC．…（2分）
又∵AB∥CD，AB=

1

2

CD，∴AB∥EF且AB=EF，
∴四邊形ABFE為平行四邊形，∴BF∥AE．…（3分）  
又∵AE?平面PAD．BF?平面PAD
∴BF∥平面PAD．…（4分）
（Ⅱ）證明：∵BP=BC，F(xiàn)為PC的中點，∴BF⊥PC．…（5分）
又AB⊥平面PBC，AB∥CD，∴CD⊥平面PBC，…（6分）
DC⊥BF，又DC∩PC=C，∴BF⊥平面PDC．…（7分）
由（Ⅰ）知，AE∥BF，
∴AE⊥平面PDC，又AE?平面ADP，
∴平面ADP⊥平面PDC．…（8分）
（Ⅲ）解：∵AB⊥平面PBC，AB?平面ABCD，
∴平面ABCD⊥平面PBC且交線為BC…（9分）
又BP=BC=

2

，PC=2，∴PB⊥BC，
∴PB⊥平面ABCD，
∴PB是四棱錐的高，…（10分）
∴VP-ABCD=

1

3

SABCD•PB=

1

3

×(1+2)×

2

×

1

2

×

2

=1．…（12分）

點評：本題考查直線與平面平行的證明，考查平面與平面垂直的證明，考查錐體體積的求法，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．