Question

已知函數(shù)f(x)=log2(x-1)，g(

2x-t

2

)=2x(t∈R)
（1）求y=g（x）的解析式；
（2）若t=1，求當(dāng)x∈[2，3]時，g（x）-f（x）的最小值；
（3）若在x∈[2，3]時，恒有g(shù)（x）≥f（x）成立，求實數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

考點：對數(shù)函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）利用換元法，即可求y=g（x）的解析式；
（2）求出g（x）-f（x）的表達(dá)式，利用基本不等式的性質(zhì)即可求出函數(shù)的最小值；
（3）將不等式恒成立轉(zhuǎn)化求函數(shù)的最值即可得到結(jié)論．

解答： 解：（1）令

2x-t

2

=p，則x=log₂（2p+t）
故g（p）=2log₂（2p+t），即g（x）=2log₂（2x+t）
（2）g(x)-f(x)=log2

(2x+1)2

x-1

因

(2x+1)2

x-1

=4(x-1)+

9

x-1

+12≥24，當(dāng)且僅當(dāng)4(x-1)=

9

x-1

時取等號
故當(dāng)x=

5

2

時，g（x）-f（x）的最小值為log₂24
（3）由2log₂（2x+t）≥log₂（x-1）得2x+t≥

x-1

即t≥

x-1

-2x在x∈[2，3]內(nèi)恒成立
先利用換元法求y=

x-1

-2x在x∈[2，3]上的最大值，為-3
所以t≥-3

點評：本題主要考查與對數(shù)有關(guān)的基本運算，函數(shù)解析式的求解，以及不等式恒成立問題，綜合性較強．