Question

平面上有過點(diǎn)A（a，b）（a²＜b）且不與y軸平行的直線l，從直線l與拋物線y=x²的兩個交點(diǎn)向x軸做垂線，垂足分別為B、C．
（1）若A為定點(diǎn)，求使點(diǎn)B、C間距離最小的直線l的斜率，并求此時B、C點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）若點(diǎn)A變化，點(diǎn)B、C滿足（1）中條件，求使△ABC為直角三角形的點(diǎn)A的軌跡．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：計算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）設(shè)直線l：y-b=k（x-a），聯(lián)立拋物線的方程y=x²，消去y，得x²-kx+ak-b=0，運(yùn)用韋達(dá)定理，以及|BC|=
|x₁-x₂|=

(x1+x2)2-4x1x2

，代入配方即可求出最小值和B，C的坐標(biāo)；
（2）由于a²＜b，所以不存在AB或AC垂直于x軸，的情況，則只能是A為直角頂點(diǎn)，即有

AB

⊥

AC

，則

AB

•

AC

=0，運(yùn)用向量的數(shù)量積的坐標(biāo)公式，化簡配方即可得到A的軌跡，注意去掉x軸上的點(diǎn)．

解答： 解：（1）設(shè)直線l：y-b=k（x-a），聯(lián)立拋物線的方程y=x²，
消去y，得x²-kx+ak-b=0，
設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
則△=k²-4（ak-b）＞0，且x₁+x₂=k，x₁x₂=ak-b，
由于b＞a²，則△＞0顯然成立，
則點(diǎn)B、C間距離|BC|=|x₁-x₂|=

(x1+x2)2-4x1x2

=

k2-4(ak-b)

=

(k-2a)2+4b-4a2

，
故當(dāng)k=2a時，點(diǎn)B、C間距離最小，且為2

b-a2

，
由x²-2ax+2a²-b=0，解得x₁=a-

b-a2

，x₂=a+

b-a2

．
即有B（a-

b-a2

，0），C（a+

b-a2

，0）；
（2）A（a，b），B（a-

b-a2

，0），C（a+

b-a2

，0），
由于a²＜b，所以不存在AB或AC垂直于x軸，的情況，則只能是A為直角頂點(diǎn)，
即有

AB

⊥

AC

，則

AB

•

AC

=0，
即有（-

b-a2

，-b）•（

b-a2

，-b）=0，
即有-（b-a²）+b²=0，
配方得，a²+（b-

1

2

）²=

1

4

（b≠0）
故使△ABC為直角三角形的點(diǎn)A的軌跡為圓a²+（b-

1

2

）²=

1

4

（原點(diǎn)除外）．

點(diǎn)評：本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查聯(lián)立直線方程和拋物線方程，消去未知數(shù)，運(yùn)用韋達(dá)定理，考查運(yùn)用向量法解決直角問題，考查運(yùn)算化簡能力，屬于中檔題．