Question

設(shè)f(x)=

x2+1(x≥0) x+1(x＜0)

，求其反函數(shù)f^-1（x），又若g（x）=x+2，求f^-1{g[f（x）]}．

Answer 1

分析：由于函數(shù)f(x)=

x2+1(x≥0) x+1(x＜0)

是一分段函數(shù)，故其反函數(shù)應(yīng)分段來求，再代入f^-1{g[f（x）]}化簡得解析式．

解答：解：當(dāng)x≥0時，令y=x²+1≥1，解得x=

y-1

，交換x，y的位置，得y=

x-1

，
同理求出x＜0時令y=x+1＜1解得其反函數(shù)的解析式 
為 y=x-1，
即 f^-1（x）=

x-1 ，x≥1 x-1    x＜1

，
又若g（x）=x+2，
故g[f（x）]=

x2+3    x≥0 x+3      x＜0

，
f^-1{g[f（x）]}=

x2+2   x≥0 x+2     -2≤x＜0  x-2      x＜-2

．

點評：本題考點是反函數(shù)，綜合考查了反函數(shù)的求法，以及復(fù)合型的分段函數(shù)的求解方法，本題是一個易錯題，尤其是在最后一問求f^-1{g[f（x）]}的解析式，要根據(jù)外層函數(shù)的定義域?qū)��?nèi)層函數(shù)的定義域進(jìn)行分類．