Question

已知數(shù)列{a_n}是公差不為0的等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為S_n，a₁，a₂，a₄成等比數(shù)列，2a₅=S₃+8
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）若數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和Tn=

3n

an+1

，對(duì)任意n≥2且n∈N^*，不等式b_n＜kT_n恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合

專題：綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）利用數(shù)列{a_n}是公差不為0的等差數(shù)列，a₁，a₂，a₄成等比數(shù)列，2a₅=S₃+8，建立方程，求出a₁=d=2，即可求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）

bn

Tn

=1-

Tn

Tn-1

=

2

3

-

2

3(2n-1)

＞

2

3

，利用對(duì)任意n≥2且n∈N^*，不等式b_n＜kT_n恒成立，即可求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）∵數(shù)列{a_n}是公差不為0的等差數(shù)列，a₁，a₂，a₄成等比數(shù)列，2a₅=S₃+8，
∴(a1+d)2=a₁（a₁+3d），2（a₁+4d）=3a₁+3d+8，d≠0，
∴a₁=d=2，
∴a_n=2n；

（Ⅱ）∵數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和Tn=

3n

an+1

，
∴n=1時(shí)，

b1

T1

=1；
n≥2時(shí)，b_n=T_n-T_n-1，∴

bn

Tn

=1-

Tn-1

Tn

=

2

3

-

2

3(2n-1)

＞

2

3

，
∵對(duì)任意n≥2且n∈N^*，不等式b_n＜kT_n恒成立，
∴k≥

2

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合，考查恒成立問(wèn)題，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．