Question

11．某化工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品，當(dāng)年產(chǎn)量在150噸至250噸時(shí)，每年的生產(chǎn)成本y萬元與年產(chǎn)量x噸之間的關(guān)系可可近似地表示為y=$\frac{1}{10}{x^2}$-30x+4000．
（1）若每年的生產(chǎn)總成本不超過2000萬元，求年產(chǎn)量x的取值范圍；
（2）求年產(chǎn)量為多少噸時(shí)，每噸的平均成本最低，并求每噸的最低成本．

Answer 1

分析 （1）由題意可得不等式$\frac{1}{10}{x^2}$-30x+4000≤2000，解得即可．
（2）利用總成本除以年產(chǎn)量表示出平均成本，利用基本不等式求出平均成本的最小值．

解答 解：（2）由題意可得$\frac{1}{10}{x^2}$-30x+4000≤2000，解得100≤x≤200，
∵當(dāng)年產(chǎn)量在150噸至250噸時(shí)，每年的生產(chǎn)成本y萬元與年產(chǎn)量x噸之間的關(guān)系
可近似地表示為y=$\frac{1}{10}{x^2}$-30x+4000，
∴150≤x≤200，
故每年的生產(chǎn)總成本不超過2000萬元，年產(chǎn)量x的取值范圍為[150，200]；
（2）依題意，每噸平均成本為$\frac{y}{x}$（萬元），
則$\frac{y}{x}$=$\frac{x}{10}$+$\frac{4000}{x}$-30≥2$\sqrt{\frac{x}{10}•\frac{4000}{x}}$-30=10
當(dāng)且僅當(dāng)x=200時(shí)取等號(hào)，又150＜200＜250，
所以年產(chǎn)量為200噸時(shí)，每噸平均成本最低，每噸的最低成本10萬元．

點(diǎn)評(píng) 本題考查將實(shí)際問題的最值問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題、考查利用基本不等式求函數(shù)的最值需滿足：正、二定、三相等、考查求二次函數(shù)的最值關(guān)鍵看對(duì)稱軸．